[ Pobierz całość w formacie PDF ]
UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNA LINIOWYCH
INFORMATYKA
Transport,studiaIstopnia
rokakademicki2011/2012
EwaPabisek
AdamWosatko
InstytutL-5,WydziałIn»ynieriiL¡dowej,PolitechnikaKrakowska
(1)
Uwagiwst¦pne
Układ liniowych równa« algebraicznych mo»na zapisa¢ w postaci:
1
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
+
...
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
a
23
x
3
+
...
+
a
2
n
x
n
=
b
2
.....................
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
a
n
3
x
3
+
...
+
a
nn
x
n
=
b
n
2
n
X
a
ij
x
j
=
b
j
,
dla
i
=
1
,
2
,...,
n
.
j
=
1
3
AX
=
B
.
gdzie
A
– jest nieosobliw¡, kwadratow¡ macierz¡ o wymiarze
n
×
n
,
B
– jest wektorem o
n
współrz¦dnych,
X
– jest wektorem poszukiwanym o
n
współrz¦dnych.
(2)
Uwagiwst¦pne
Metody słu»¡ce do rozwi¡zania układu równa«
AX
=
B
mo»na podzieli¢ na:
1
metodydokładne,
2
metodyiteracyjne(przybli»one).
Decyzja wyboru odpowiedniej metody zale»y od
postaci macierzy
A
,
specyfiki zagadnienia, które prezentuje układ.
Układy równa« liniowych mog¡ mie¢:
1
jedno rozwi¡zanie
2
niesko«czenie wiele rozwi¡za«
3
brak rozwi¡za« (układy sprzeczne)
(3)
Metodydokładne
Przez
metod¦ dokładn¡
rozwi¡zywania układu równa« liniowych rozumiemy
metod¦, która (przy braku bł¦dów zaokr¡gle«) daje dokładne rozwi¡zanie po
sko«czonej liczbie kroków.
Metody dokładne, które b¦d¡ omówione to:
1
podstawianie w przód i podstawianie wstecz dla układów trójk¡tnych
2
metoda eliminacji Gaussa
3
metoda Gaussa-Jordana
4
metoda Choleskiego-Banachiewicza
(4)
Układytrójk¡tne
Macierztrójk¡tnagórna
Układ
AX
=
B
z macierz¡
A
U
trójk¡tn¡ górn¡ ma posta¢:
u
11
x
1
+
u
12
x
2
+
...
+
u
1
n
−
1
x
n
−
1
+
u
1
n
x
n
=
b
1
u
22
x
2
+
...
+
u
2
n
−
1
x
n
−
1
+
u
2
n
x
n
=
b
2
.................................
u
n
−
1
n
−
1
x
n
−
1
+
u
n
−
1
n
x
n
=
b
n
−
1
u
nn
x
n
=
b
n
.
Je»eli zało»ymy, »e
u
ii
6
=
0
(
i
=
1
,
2
,...,
n
)
, to niewiadome mo»na obliczy¢ w
kolejno±ci
x
n
,
x
n
−
1
,
x
n
−
2
,...,
x
1
, z wzorów:
x
n
=
b
n
,
x
n
−
1
=
b
n
−
1
−
u
n
−
1
n
x
n
,
...,
u
nn
u
n
−
1
n
−
1
x
1
=
b
1
−
u
1
n
x
n
−
u
1
n
−
1
x
n
−
1
−
...
−
u
12
x
2
u
11
(5)
[ Pobierz całość w formacie PDF ]