[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->1. WstępAby zrozumieć myśli Boga, musimy studiować statystykę,ponieważ jest ona miarą jego celu.Florence Nightingale1Statystyka jest gramatyką nauki.Karl Pearson2Jestem pod wrażeniem elegancji definicjistatystykizamieszczo-nej w angielskiej wersji Wikipedii (signumtemporis,nawiasem mó-wiąc). Określa się ją tam jako naukę „o efektywnym wykorzysty-waniu danych liczbowych odnoszących się do grup osobników lubeksperymentów”, obejmującą zarówno metody planowania ekspe-rymentów, pozyskiwania danych, jak i ich opisu, analizy oraz in-terpretacji. Statystykę można także traktować jako pewną formęsztuki, gdyż wiele różnych decyzji jest pozostawionych samemubadaczowi.Już od pewnego czasu matematyka (przede wszystkim staty-styka) jest nowym mikroskopem biologii, ta zaś stanowi „następnąfizykę” dla „królowej nauk” (Cohen 2004). Ukuto nawet odpowied-nie określenia uwzględniające specyfikę metodologii, z których naj-popularniejszym jestbiostatystyka.Czy tego chcemy, czy nie – nieuciekniemy od stosowania technik z repertuaru matematyki w celupoprawy jakości opisu i pełniejszego zrozumienia praw rządzącychnaturą. Akceptacja takiego stanu rzeczy nie powinna być trudna,gdyż (wierzcie lub nie) na poziomie podstawowym i średnio za-awansowanym statystyka wcale nie jest specjalnie skomplikowana.Niniejszą książkę polecam przede wszystkim studentom i dokto-Florence Nightingale (1820-1910) – Angielka, twórczyni współczesnego pie-lęgniarstwa, pionierka technik wizualnej prezentacji danych.2Karl Pearson (1857-1936) – angielski matematyk, filozof i biolog, jedenz twórców współczesnej statystyki.111rantom biologii, ochrony środowiska, medycyny i kierunków po-krewnych. Niewątpliwie będzie też źródłem przydatnej wiedzy dlapracowników nauki, gdyż prezentowane treści wykraczają w wie-lu miejscach poza zakres podstawowego kursu statystyki. Obecnapostać tekstu różni się nieznacznie od wersji początkowej – zmiany(poprawki i uzupełnienia) wprowadzone w czerwcu 2011 r. możnaChciałbym gorąco podziękować Kasi (mojej kochanej żonie) zacierpliwość i zrozumienie. Agnieszkę przepraszam za notorycznybrak czasu; masz rację, Maleństwo – tata zbyt dużo czasu spędzaprzy komputerze. . .Zapraszam do lektury.122. Prawdopodobieństwo i okoliceZa każdym razem, gdy mówimy studentom: „oto czym naprawdęjest prawdopodobieństwo”, jesteśmy w błędzie.Prawdopodobieństwo znaczy wiele rzeczy.Glenn Shafer (1991)2.1WprowadzenieStadion Narodowy, godzina 20.15. Za chwilę rozpocznie się„mecz o wszystko”. Główny arbiter spotkania prosi kapitanówdrużyn o podejście, po czym wyjmuje monetę. Po krótkiej wy-mianie zdań srebrzysty krążek zostaje wyrzucony w górę – jeste-śmy świadkami. . .doświadczenia losowego.Jego rezultat zależy odprzypadku (stąd nazwa), gdyż zakładamy, że moneta jest „ucz-ciwa”, podobnie zresztą jak sędzia, który będąc profesjonalistą,wprawił monetę w ruch obrotowy.Opisane doświadczenie losowe ma tylko dwa możliwe niepo-dzielne wyniki, czyli mogło zajść jedno z dwóchzdarzeń elementar-nych(ω)3– wyrzucony został orzeł lub reszka. W tym przypadkuprzestrzeń zdarzeń elementarnych(Ω)4, zbiór wszystkich zdarzeńelementarnych rozpatrywanego doświadczenia losowego, jest dwu-elementowa. Przestrzeń może być albo zbiorem skończonym (jakpowyżej), a przynajmniej przeliczalnym (przestrzeńskokowa,ina-czejdyskretna),albo zbiorem nieprzeliczalnym (przestrzeńciągła).Przykłady z przyrodniczego podwórka:XPotomek niebieskookiej kobiety (genotyp homozygotyaa)i brązowookiego mężczyzny (genotyp heterozygotyAa)bę-dzie miał genotypAa(ω1) alboaa(ω2) (szanse na każdy34Omega – mała litera z greckiego alfabetu.Omega – duża litera z greckiego alfabetu.13z dwóch układów są takie same) – Ω jest zbiorem skończo-nym, dwuelementowym.XPoszukiwania ostatniego wspólnego przodka człowiekai szympansa: zdarzeniem elementarnym (ωi) jest każde zna-lezisko budzących nadzieję szczątków, któremu przypisze sięliczbę naturalną od 1 don,gdziensymbolizuje sukces. Uzy-skany ciąg stanowi zbiór przeliczalny (w praktyce nieskoń-czony).XDobowy zapis pracy serca (ωi) ma postać funkcji ciągłej. Ωjest zbiorem nieprzeliczalnym, ponieważ istnieje nieskończe-nie wiele możliwych kształtów elektrokardiogramu.Każdy podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych jest określanyterminemzdarzenie losowe5. Może on zawierać jeden lub większąliczbę elementów. W przypadku rzutu sześcienną kostką do gry(doświadczenie losowe) zdarzeniem losowym jest zarówno wyrzu-cenie trzech oczek, jak i nieparzystej liczby oczek, a także licz-by oczek większej od dwóch. Zbiór zdarzeń losowych związanychz tym samym doświadczeniem losowym tworzyrodzinę zdarzeńlosowych(S ). Zdarzenia losowe mogą być: pewne, niemożliwe lubprawdopodobne.Z punktu widzenia statystyki interesujące są teostatnie. Zdarzeniami losowymi zajmuje sięrachunek prawdopo-dobieństwastanowiący, bez żadnej przesady, matematyczny fun-dament statystyki. No dobrze, ale czym jestprawdopodobieństwo?2.2Koncepcje prawdopodobieństwaIstnieje przynajmniej kilkanaście definicji prawdopodobień-stwa, ale na szczęście nie ma potrzeby zapoznawania się z każdąz nich. W najbardziej ogólnym ujęciu prawdopodobieństwo jestmatematycznym sposobem radzenia sobie z problemem niepew-ności. Główne koncepcje tego pojęcia można przyporządkować dodwóch kategorii:obiektywistycznejisubiektywistycznej.Pierwsza5Operacje na zdarzeniach losowych są więc operacjami na zbiorach.14z nich jest najbardziej popularna i zakłada, że prawdopodobień-stwo można przypisać jedynie zdarzeniom powtarzalnym (takimjak rzut kostką do gry lub monetą). Jest ona reprezentowana m.in.przez intuicyjnądefinicję klasycznąautorstwa Laplace’a6z 1812 r.,według której prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeniaA,czyliP(A), jest równe ilorazowi liczby zdarzeń mu sprzyjających (moczbioruA)i liczby możliwych przypadków (moc zbioru Ω). Możemyto zapisać w następujący sposób:=P(A) =A(2.2.1)=ΩZakłada się, że zdarzenia są jednakowo możliwe i wzajemniesię wykluczają.Powiedzmy, że interesuje nas prawdopodobieństwo zdarzeniapolegającego na wyrzuceniu orła przy jednokrotnym rzucie sy-metryczną monetą. Zbiór możliwych wyników jest dwuelemento-wy (orzeł i reszka), zaś naszemu zdarzeniu sprzyja wyłącznie wy-rzucenie orła. Po podstawieniu otrzymujemyP(O) = 0,5. Prostyproblem i proste rozwiązanie. Niestety, zakres stosowalności tegopodejścia ogranicza się właśnie do prostych przypadków. Głów-ny problem z definicją klasyczną polega na tym, że wykorzystujeona pojęcie definiowane (błąd logiczny) – „możliwe” jest synoni-mem „prawdopodobne”. Podobną niedogodność madefinicja geo-metryczna,która za to rozwiązuje inny problem podejścia klasycz-nego – niemożność stosowania w sytuacji, gdyAi Ω są zbioraminieskończonymi; liczebność tych zbiorów jest zastępowana polempowierzchni lub długością.Definicja częstościowavon Misesa7(1931 r.), będąca kolejnąpróbą określenia, na gruncie obiektywizmu, czym jest prawdopo-dobieństwo, utożsamia je z granicą (limes) ciągu częstości. O ileracjonalizm prezentowany przez podejście Laplace’a był oparty namyśleniu w kategoriach matematyki i filozofii, o tyle koncepcjaPierre Simon de Laplace (1749–1827) – francuski matematyk, fizyk i astro-nom.7Richard Edler von Mises (1883–1953) – amerykański matematyk urodzonywe Lwowie.615
[ Pobierz całość w formacie PDF ]