[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Marcin Kuskiewicz
Uniwersytet im. Adama Mickiewicza,
Wydział Matematyki i Informatyki,
ul. Umultowska 87
61-614 Pozna«,
mk12128@st.amu.edu.pl
TwierdzenieCauchy’ego
27 pa¹dziernika 2010
Streszczenie
TwierdzenieCauchy’ego
- jedno z kilku twierdze« o warto±ci ±redniej
w rachunku ró»niczkowym. Ma ono wa»ne zastosowania teoretyczne. Pozwala
mi¦dzy innymi oszacowa¢ bł¡d we wzorze Taylora oraz uzasadni¢ reguł¦ de
l’Hospitala. Twierdzenie Cauchy’ego jest uogólnieniem twierdzenia Lagran-
ge’a.
1.Tre±¢twierdzenia
Poni»sza tre±¢ twierdzenia została podana w oparciu o [1].
Twierdzenie1.1
(Twierdzenie Cauchy’ego)
.
Je»elidanefunkcjefigs¡:
—ci¡głewprzedzialedomkni¦tym
[
a,b
]
,
—ró»niczkowalnewprzedziale
(
a,b
)
,
toistniejepunktcnale»¡cydoprzedziału
(
a,b
)
taki,»e:
g
0
(
c
) [
f
(
b
)
−
f
(
a
)] =
f
0
(
c
) [
g
(
b
)
−
g
(
a
)]
2.Dowódtwierdzenia
Dowód twierdzenia 1.1 zostanie przeprowadzony na podstawie pracy [2].
Dowód opiera si¦ na rozpatrzeniu dwóch przypadków:
1.
g
(
a
) =
g
(
b
)
Wprowad¹my oznaczenia:
L
=
g
0
(
c
) [
f
(
b
)
−
f
(
a
)]
P
=
f
0
(
c
) [
g
(
b
)
−
g
(
a
)]
W tym przypadku oczywi±cie
P
= 0. Ponadto korzystaj¡c z twierdzenia
Rolle’a:
1
9
c
2
(
a,b
)
g
0
(
c
) = 0
Wi¦c dla powy»szego
c
mamy
L
= 0. Ko«czy to dowód tego przypadku,
gdy» istnieje
c
2
(
a,b
) takie, »e
L
= 0 =
P
.
2.
g
(
a
)
6
=
g
(
b
)
Zdefiniujmy teraz:
I
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
Niech funkcja
: [
a,b
]
!
R
b¦dzie okre±lona wzorem:
(
x
) =
f
(
b
)
−
f
(
x
)
−
I
[
g
(
b
)
−
g
(
x
)]
Wyka»emy, »e funkcja
spełnia zało»enia twierdzenia Rolle’a. Istotnie:
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
!
(
a
) =
f
(
b
)
−
f
(
a
)
−
{
g
(
b
)
−
g
(
a
)
}
= 0
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
!
(
b
) =
f
(
b
)
−
f
(
b
)
−
{
g
(
b
)
−
g
(
b
)
}
= 0
Wobec powy»szego spełnione jest zało»enie
(
a
) =
(
b
)
.
Na mocy twier-
dzenia Rolle’a:
9
c
2
(
a,b
)
0
(
c
) = 0
Zauwa»my, »e:
0
(
x
) =
−
f
0
(
x
) +
Ig
0
(
x
)
Bior¡c pod uwag¦, »e
0
(
x
) = 0 otrzymujemy:
0
(
c
) =
−
f
0
(
c
) +
Ig
0
(
c
)
f
0
(
c
) =
Ig
0
(
c
)
f
0
(
c
) =
Ig
0
(
c
)
f
0
(
c
) =
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
g
0
(
c
)
Ko«czy to dowód twierdzenia.
3.Wniosek
Poni»szy wniosek wynika wprost z twierdzenia 3.1 podanego w rozdziale
1, a udowodnionego w rozdziale 2.
Wniosek3.1
(Twierdzenie Cauchy’ego)
.
Je»elidanefunkcjefigs¡:
—ci¡głewprzedzialedomkni¦tym
[
a,b
]
,
—ró»niczkowalnewprzedziale
(
a,b
)
,
—g
0
6
= 0
dlapewnegox
2
(
a,b
)
toistniejepunktcnale»¡cydoprzedziału
(
a,b
)
taki,»e:
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
=
f
0
(
c
)
g
0
(
c
)
2
Literatura
[1]R.Rudnicki:
Wykładyzanalizymatematycznej.
,Warszawa:Wydawnictwo
NaukowePWN,2001,s.144.
[2]G.M.Fichtenholz:
Rachunekró»niczkowyicałkowy.
,Warszawa:Wydawnic-
twoNaukowePWN,1994,s.199.
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]