[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Teoria dystrybucji – wykład do wyboruLiteratura:1.2.3.4.W. Rudin,Analiza Funkcjonalna,L. H¨rmander,The Analysis of Linear PDO,tom I,oG.E. Silov,Matematiceskij analiz,H. Marcinkowska,Dystrybucje, przestrzenie Sobolewa, równania różniczkowe.Definicje są po to, by ułatwiać wysławianie się i porozumiewanie. Z punktu widze-nia analizy podobną rolę pełniteoria dystrybucji.Z formalnego punktu widzenia możnają uznać za część teorii lokalnie wypukłych wektorowych przestrzeni topologicznych. Wgruncie rzeczy chodzi jednak o stworzenie wygodnego języka dla teorii równań różnicz-kowych cząstkowych, który pozwala ominąć wiele pozornych trudności teoretycznych iwiele prawdziwych trudności komunikacyjnych.Teoria dystrybucji wyrasta z „funkcjonalnego” sposobu patrzenia na obiekty analizy.Dobrym punktem wyjścia jest twierdzenie Riesza, zgodnie z którym każdą ograniczonąznakowaną miarę borelowskąµ∈M(Rn)można utożsamić z ciągłym funkcjonałemφnaprzestrzeniC(Rn)znikających w nieskończoności funkcji ciągłych z normą supremum.Mamy wtedyφµ(f ) =Rnf(x)µ(dx),f∈C(Rn),gdzie, jak dobrze wiadomo, przyporządkowanieM(Rn)µ→φµ∈C(Rn)jest izometrią.Jest jasne, że jeśli w powyższym przykładzie przestrzeńC(Rn)zastąpimy jej gęstąpodprzestrzenią wyposażoną w mocniejszą topologię, na przykład przestrzenią SchwartzaS(Rn)szybko znikających w nieskończoności fukcji gładkich z odpowiednią rodziną pół-norm, jako przestrzeń sprzężoną otrzymamy dużo bogatszą przestrzeń, w naszym przy-padkuS(Rn),zawierającą w sposób naturalny wszystkie znakowane miary ograniczonei funkcje całkowalne w sensie Lebesgue’a. W szczególności elementamiSbędą wszystkiefunkcjonały postacif→Dαf(0),czyli pochodne cząstkowe wszystkich rzędów ocenione (na przykład) w zerze. Ta prze-strzeń nazywa się przestrzeniądystrybucji temperowanych.Na przestrzeń dystrybucji można rozszerzyć wiele operacji analizy, takich jak mno-żenie, splot, różniczkowanie, całkowanie nieoznaczone. Dotyczy to także transformatyFouriera, która staje się automorfizmem przestrzeni Schwartza.Aby nie poprzestać na ogólnikach, oto interpretacja twierdzenia Gaussa-Greena wjęzyku teorii dystrybucji:NiechΩ⊂Rnbędzie obszarem z gładkim brzegiem∂Ω.NiechχΩoznacza funkcjęcharakterystycznąΩ.WówczasDjχΩ=njdt,12gdzienjest wektorem normalnym zewnętrznym do∂Ω,adtmiarą Lebesgue’a powierzchni∂Ω.Innymi słowy, pochodną cząstkową (nieróżniczkowalnej) funkcjiχΩjest miara skupionana brzegu obszaru, która jest absolutnie ciągła względem miary Lebesgue’a brzegu, ajej gęstością jest odpowiednia współrzędna wektora normalnego. W najprostszym przy-padku, gdyΩ = (a,b)⊂Roznacza to, że pochodna dystrybucyjna funkcji charaktery-stycznej odcinka otwartego jest równa mierze atomowej skupionej w dwóch punktach:µ(f) =f(b)−f(a).A oto program wykładu w zarysie:1)2)3)4)5)6)7)8)Dystrybucje jednej zmiennej, główne idee teorii,Dystrybucje wielu zmiennych, różniczkowanie,Rozwiązania fundamentalne równań różniczkowych cząstkowych,Nośnik i lokalne własności,Przejścia graniczne w teorii dystrybucji,Struktura dystrybucji,Splot dystrybucji,Transformata Fouriera.W imieniu swoim i Jacka Dziubańskiego, który poprowadzi ćwiczenia do tego wykładu,serdecznie zapraszam!Paweł Głowacki
[ Pobierz całość w formacie PDF ]