renty

renty, Nauka, Aktuariusz

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Jakub Grabowskijakub.grabowski@poczta.fm1.1.Podpunkt dotyczy propozycji budowy i zapisu aktualnych wartości dwóch rent.(i) Nieskończona renta malejąca z góry, w której płatności następująmrazy w roku, ale niesą stałe, tylko malejąqrazy w roku (zakładamy,Ŝeqdzielimdając liczbę całkowitą, iŜem ,qsą liczbami całkowitymi ).(q)••Oznaczmy daną rentę przezD a.∞Wysokość płatności i ich czas przedstawmy w tabeli:Tabela 1.1/q2/qItd.1/m1/q+1/m2/q+1/mCzas………Płatności1/q-1/m2/q-1/m3/q-1/m1/mq1/kmq1/k2mq(m)Gdzie k>1.Potraktujmy tą rentę jako ciąg rent stałych, gdzie pierwsza płatność 1/mq jest dokonywana wokresie oddo1/q-1/m .druga Płatność1/kmqw okresie1/qdo2/q-1/mitd.Kolejne wartości aktualne (ozn.WA) rent stałych, płatnych po1/mq, 1/kmq…wynoszą:111(1)WA1=+⋅v+...+⋅vmq mqmq1q1m1 1−q m11+v+...+v=mq1m1 1−q m=1⋅1−v=1mq1−vm1m⋅m q=1 1−v⋅,1mq1−vm11v+⋅vkmqkmq2q1q1 1+q m(2)WA2=+...+1⋅vkmq2 1−q m=11−v⋅v⋅,1kmq1−vm1q1q(3)WA3=11v+2⋅v2k mqk mq2 1+q m+...+1⋅v2k mq3 1−q m=11−v⋅v⋅,21k mq1−vm11−v⋅v,31k mq1−vm3q1q2q1q(4)WA4=Itd.11⋅vv+33k mqk mq3q3 1+q m+...+1⋅v3k mq4 1−q m=Widać,Ŝe:(q)••D a=WA1+WA2+WA3+...∞(m).Podstawiając, zaWAk(k =1,2,...) wartości obliczone wyŜej, otrzymujemy:1−v(q)D a=1∞m1−v••(m)1q12111qq⋅+⋅v+2⋅v+...=mq kmqk mqvkPodsumowując, wzór na nieskończonąrentęmalejącąz góry, w której płatności następująmrazy w roku, ale nie sąstałe , tylko malejąqrazy w roku (zakładamy,Ŝeqdzielimdającliczbęcałkowitą, iŜem , qsąliczbami całkowitymi ), wynosi:1−111+ ⋅v+1⋅v+...=1−v⋅1⋅=⋅11mqkk21−vmmq1−vm1−v1q2q1q1q11q.1−v1(q)⋅⋅D a=1mq∞1−vm••(m)1q11−vk1q.Dlaq=1im=1otrzymujemy:v1−vk1−kJest to nieskończona renta malejąca z góry, w której płatności malejąliniowo rokrocznie ok.(ii)Nieskończona renta malejąca z dołu, w której płatności następująmrazy w roku, ale nie sąstałe , tylko malejąqrazy w roku (zakładamy,Ŝeqdzielimdając liczbęcałkowitą, iŜem , qsąliczbami całkowitymi ).Oznaczmy danąrentęprzezD(q)a1−v1D a=⋅⋅11⋅1∞1−v1••11111=1=k.k−v()(m)∞.Wysokośćpłatności i ich czas przedstawmy w tabeli:Tabela 1.Czas1/m1/q+1/m2/q+1/mItd.………1/q-1/m2/q-1/m3/q-1/m1/q2/q3/q1/mq1/kmq1/k2mqPłatnościGdzie k>1.Potraktujmy tą rentę jako ciąg rent stałych, gdzie pierwsza płatność 1/mq jest dokonywana wokresie od1/mdo1/q .druga Płatność1/kmqw okresie1/q+1/mdo2/qitd.Kolejne wartości aktualne (WA) rent stałych, płatnych po1/mq, 1/kmq…wynoszą:(1)1111WA1=⋅v+⋅v...+⋅v=⋅vmqmqmqmq1q1m2m1q1m1+v+v...+v1m2m1 1−q m=1⋅v⋅1−v=1mq1−vm1,1m⋅m q=11−v⋅v⋅,1mq1−vm1m(2)WA2=1vkmq1 1+q m+1⋅vkmq1 2+q m+...+11⋅v=⋅vkmqkmq3q2q1 1+q m⋅1−v1−v2 1+q m1q1m,1q1m(3)WA3=1vk2mq2 1+q m+1⋅vk2mq2 2+q m+...+11⋅v=2⋅vk2mqk mq⋅1−v1−v,(4)WA4=Itd.Widać,Ŝe:1vk3mq3 1+q m+1⋅vk3mq3 2+q m+...+11⋅v=3⋅vk3mqk mq4q3 1+q m⋅1−v1−v1q1m,(D a)(q)1m(m)∞=WA1+WA2+WA3+....Podstawiając, zaWAk(k =1,2,...) wartości obliczone wyŜej, otrzymujemy:(D a)(q)(m)∞12111qq=v⋅⋅+⋅v+2⋅v+...=1mq kmqk mqm1−v1−v1qvkPodsumowując, wzór na nieskończonąrentęmalejącąz dołu, w której płatności następująmrazy w roku, ale nie sąstałe , tylko malejąqrazy w roku (zakładamy,Ŝeqdzielimdającliczbęcałkowitą, iŜem , qsąliczbami całkowitymi ), wynosi:1−111+ ⋅v+1⋅v+...=v⋅1−v⋅1⋅=v⋅⋅11mqkk2mqmm1−v1−v1m1−v1q1q2q1m1q11q.(D a)(q)(m)∞=v⋅1m1−v1−v1q1m⋅1⋅mq11−vk1q.Dlaq=1im=1otrzymujemy:(Da)∞=v⋅111−v1−v1111⋅vkJest to nieskończona renta malejąca z dołu, w której płatności malejąliniowo rokrocznie ok.1−1⋅1⋅1111=vv1−k=v⋅kk−v.Wniosek: Zapiszemy zaleŜnośćmiędzy dwoma opisanymi rentami:(D a)(q)(m)∞(q)••=v⋅D a∞••=v⋅D a.∞1m(m).Dlaq=1im=1otrzymujemy:(Da)∞ [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

apo.htw.pl