[ Pobierz całość w formacie PDF ]
4-5
4.2
Wytrzymao materiaów
Moment gncy
(zginajcy)
M
w danym przekroju jest sum momentów obcie
zewntrznych dziaajcych po jednej stronie rozpatrywanego przekroju wzgldem
rodka masy tego przekroju.
Sposób okrelania dodatniego znaku siy tncej oraz momentu gncego przedsta-
wiono na rys. 4.3. Lini przerywan oznaczono wókna uprzywilejowane (dolne).
Rozwizywanie belek prostych
i przegubowych wyznaczanie reakcji
i wykresów si przekrojowych
Rys. 4.3
W zadaniach prezentowanych w niniejszym rozdziale, przyjto nastpujc kon-
wencj dotyczc sporzdzania wykresów si tncych i momentów gncych. Dodatnie
wartoci momentów gncych
M
bdziemy odkada po stronie wókien uprzywilejo-
wanych, natomiast dodatnie wartoci si tncych
T
po stronie wókien nieuprzywi-
lejowanych.
Cechy charakterystyczne wykresów si przekrojowych s nastpujce:
sile skupionej
P
stanowicej obcienie belki odpowiada skok o wartoci
P
na wykresie si tncych;
momentowi skupionemu
M
stanowicemu obcienie belki odpowiada skok
o wartoci
M
na wykresie momentów gncych;
jeeli sia tnca
T
ma warto sta (dodatni/ujemn) w danym przedziale,
to moment gncy w rozpatrywanym przedziale opisany funkcj liniow
(rosnc/malejc);
jeeli sia tnca
T
jest równa zeru w danym przedziale, to moment gncy
w rozpatrywanym przedziale jest stay;
jeeli sia tnca
T
ma warto liniowo zmienn w danym przedziale,
to moment gncy w rozpatrywanym przedziale opisany funkcj kwadratow.
Obcienie belki mog stanowi siy skupione
P
, momenty skupione
M
oraz
obcienia cige
q
(rys. 4.1).
Rys. 4.1
Przed przystpieniem do wyznaczenia wykresów si przekrojowych konieczne jest
wyznaczenie reakcji. W tym celu, rozpatrywan belk uwalnia si z wizów, zastpu-
jc podpory/utwierdzenia odpowiednimi reakcjami (rys. 4.2).
Na rys. 4.4a przedstawiono przykad belki obcionej dwiema siami skupionymi.
Schemat obliczeniowy po uwolnieniu z wizów ilustruje rys. 4.4b.
Rys. 4.2
Warto reakcji okrelamy wykorzystujc równania równowagi statycznej:
suma rzutów si na o
x
jest równa zeru
ix
P
0
(4.1a)
suma rzutów si na o
y
jest równa zeru
iy
P
0
(4.1b)
suma momentów wzgldem dowolnego punktu jest równa zeru
0
i
M
(4.1c)
W przypadku belek prostych obcionych poprzecznie wzgldem osi belki, reakcja
pozioma jest zawsze równa zeru, dlatego równanie (4.1a) pomija si.
Wielkoci przekrojowe to sia tnca
T
oraz moment gncy
M
.
Sia tnca
(poprzeczna)
T
w danym przekroju jest sum rzutów si zewntrznych
dziaajcych po jednej stronie rozpatrywanego przekroju na kierunek styczny do
przekroju.
Rys. 4.4
Warto reakcji wyznaczamy wykorzystujc warunki równowagi (4.1b) i (4.1c):
:
iy
P
0
R
R
P
2
P
0
A
y
D
y
A
i
M
0
:
R
y
3
l
P
l
2
P
2
l
0
D
 4.3
4.4
Rozwizywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów si przekrojowych
Wytrzymao materiaów
4
5
4
1
R
y
A
P
R
y
D
P
T
(
x
)
R
P
P
P
P
A
y
3
3
3
3
W rozpatrywanej belce moemy wyróni trzy przedziay AB, BC i CD. W kadym
z tych przedziaów wyznaczamy siy tnce
T
oraz momenty gnce
M
zgodnie z defi-
nicj. Przykad rozwizano od lewej strony:
przedzia AB:
1
M
(
x
)
R
x
P
(
x
l
)
P
x
P
l
A
y
3
1
4
M
(
x
l
)
P
l
P
l
P
l
0
x
l
(rys. 4.5)
3
3
1
5
M
(
x
2
l
)
P
2
l
P
l
P
l
3
3
przedzia CD:
2
(rys. 4.7)
Postpujc analogicznie, jak w dwóch poprzednich przedziaach, zapiszemy:
l
x
3
l
Rys. 4.5
Sia tnca w przekroju oddalonym o warto
x
od punktu A jest równa sumie
rzutów si zewntrznych dziaajcych po lewej stronie rozpatrywanego przekroju
na kierunek styczny do przekroju. Zapiszemy zatem:
4
Rys. 4.7
T
(
x
)
R
A
P
y
3
4
5
T
(
x
)
R
P
2
P
P
P
2
P
P
Sia tnca ma warto sta w caym przedziale AB.
Z kolei, moment gncy w rozpatrywanym przekroju jest sum momentów obcie
zewntrznych dziaajcych po lewej stronie przekroju wzgldem rodka masy tego
przekroju. Zapiszemy to w nastpujcy sposób:
A
y
3
3
5
M
(
x
)
R
x
P
(
x
l
)
2
P
(
x
2
l
)
P
x
5
P
l
A
y
3
5
5
M
(
x
2
l
)
P
2
l
5
P
l
P
l
4
3
3
M
(
x
)
R
A
x
P
x
y
3
5
M
(
x
3
l
)
P
3
l
5
P
l
0
3
Moment gncy zmienia si liniowo z przedziale AB jego wartoci na kracach
przedziau s równe:
Wykresy si przekrojowych przedstawiono na rys. 4.8.
4
M
(
x
0
)
P
0
0
3
4
4
M
(
x
l
)
P
l
P
l
3
3
przedzia BC:
l
x
2
l
(rys. 4.6)
Rys. 4.6
Postpujc analogicznie, jak w poprzednim przedziale, moemy zapisa:
Rys. 4.8
 4.5
4.6
Rozwizywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów si przekrojowych
Wytrzymao materiaów
Zadanie 4.1.
Wyznaczy reakcje oraz wykresy si tncych
T
i momentów gncych
M
dla belki
przedstawionej na rys. 4.10. Dane:
P
,
l
,
Na rys. 4.9 przedstawiono wykres si tncych
T
, wraz z naniesionymi siami sku-
pionymi i reakcjami, uatwiajcy interpretacj wyników.
M
.
P
l
Rys. 4.10
Rozwizanie
Belk uwalniamy z wizów (rys. 4.11) i wyznaczamy wartoci reakcji, korzystajc
z równa równowagi statycznej (4.1b) i (4.1c).
Rys. 4.9
Pochodna momentu gncego
M
wzgldem
x
jest równa sile tncej
T
, co moemy
zapisa nastpujco:
d
M
T
Rys. 4.11
d
x
iy
P
0
:
R
R
P
0
Z kolei pochodna siy tncej (poprzecznej)
T
wzgldem
x
jest równa nateniu
obcienia cigego:
A
y
D
y
R
D
R
P
A
y
y
d
T
q
A
i
M
0
:
R
y
3
l
M
P
2
l
0
d
x
D
W zwizku z powyszym wykresy si przekrojowych, przedstawione na rys. 4.8
i 4.9, moemy zinterpretowa nastpujco:
w przedziale AB sia tnca ma warto sta dodatni (
P
3
3
D
R
y
l
P
l
2
P
l
0
3
R
y
D
l
P
l
4
), dlatego moment
gncy w tym przedziale ronie liniowo tangens nachylenia prostej opisujcej
przebieg zmian momentu gncego jest równy
P
3
1
R
y
D
P
3
4
;
w przedziale BC sia tnca ma warto sta dodatni (
P
3
1
), mniejsz ni w prze-
dziale AB, dlatego moment gncy w przedziale BC ronie liniowo, przy czym kt
nachylenia prostej jest mniejszy, ni w przedziale AB tangens nachylenia
prostej opisujcej przebieg zmian momentu gncego jest równy
P
3
1
2
R
P
R
P
P
P
A
y
D
y
3
3
Wyznaczamy siy tnce
T
oraz momenty gnce
M
w poszczególnych przedziaach:
przedzia AB:
1
;
0
x
l
(rys. 4.12)
5
), dlatego moment
gncy w tym przedziale maleje liniowo tangens nachylenia prostej opisujcej
przebieg zmian momentu gncego jest równy
P
3
w przedziale CD sia tnca ma warto sta ujemn (
P
3
2
T
(
x
)
R
P
A
y
3
5
;
w przekroju B wystpuje skok wartoci siy tncej
T
równy
P
, co odpowiada
sile skupionej
P
stanowicej obcienie rozpatrywanej belki w tym punkcie;
w przekroju C wystpuje skok wartoci siy tncej
T
równy 2 , co odpowiada
sile skupionej 2 stanowicej obcienie rozpatrywanej belki w tym punkcie;
rozpatrywana belka nie jest obciona momentem skupionym, dlatego te
nie wystpuj skoki wartoci na wykresie momentów gncych.
2
M
(
x
)
R
x
P
x
A
y
3
2
M
(
x
0
)
P
0
0
3
2
2
M
(
x
l
)
P
l
P
l
Rys. 4.12
3
3
przedzia BC:
l
x
2
l
(rys. 4.13)
2
T
(
x
)
R
A
P
y
3
 4.7
4.16
Rozwizywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów si przekrojowych
Wytrzymao materiaów
Zadanie 4.5.
Wyznaczy reakcje oraz wykresy si tncych
T
i momentów gncych
M
dla belki
przedstawionej na rys. 4.34. Dane:
P
,
l
,
2
M
(
x
)
R
x
M
P
x
P
l
A
y
3
2
1
q
,
l
M
2
.
P
l
M
(
x
l
)
P
l
P
l
P
l
3
3
2
1
M
(
x
2
l
)
P
2
l
P
l
P
l
3
3
Rys. 4.13
przedzia CD:
0
x
l
(rys. 4.14)
1
T
(
x
)
R
D
P
Rys. 4.34
y
3
Rozwizanie
Belk uwalniamy z wizów (rys. 4.35) i wyznaczamy wartoci reakcji, korzystajc
z równa równowagi statycznej (4.1b) i (4.1c). Obcienie cige zastpujemy si sku-
pion o wartoci 2 .
:
1
M
(
x
)
R
D
x
P
x
y
3
1
M
(
x
0
)
P
0
0
3
1
1
iy
P
0
R
R
P
q
2
l
0
M
(
x
l
)
P
l
P
l
B
y
C
y
Rys. 4.14
3
3
R
R
P
2
P
0
B
y
C
y
Wykresy si przekrojowych przedstawiono na rys. 4.15.
R
C
R
P
B
y
y
B
i
M
0
:
R
y
2
l
M
P
l
(
q
2
l
)
l
0
C
2
C
R
y
l
2
P
l
P
l
2
P
l
0
2
R
y
C
l
P
l
1
R
y
P
C
2
1
1
R
P
R
P
P
P
B
y
C
y
2
2
Rys. 4.35
Wyznaczamy siy tnce
T
oraz momenty gnce
M
w poszczególnych przedziaach:
przedzia AB:
Rys. 4.15
0
x
l
(rys. 4.36)
T
(
)
P
M
(
)
P
x
M
(
x
P
0
)
0
0
M
(
x
)
l
P
l
P
l
przedzia BC:
l
x
3
l
(rys. 4.37)
1
P
3
P
5
P
T
(
x
)
P
R
q
(
x
l
)
P
P
(
x
l
)
P
x
P
P
x
B
y
2
l
2
l
2
l
 4.17
4.18
Rozwizywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów si przekrojowych
Wytrzymao materiaów
Rys. 4.36
Rys. 4.38
Wykresy si przekrojowych przedstawiono na rys. 4.39.
Rys. 4.37
5
P
3
T
(
x
l
)
P
l
P
2
l
2
5
P
1
T
(
x
3
l
)
P
3
l
P
2
l
2
2
(
x
l
)
1
P
2
2
M
(
x
)
P
x
R
(
x
l
)
q
P
x
P
(
x
l
)
(
x
2
x
l
l
)
B
y
2
2
2
l
1
1
P
1
P
5
2
2
P
x
P
x
P
l
x
P
x
P
l
x
P
x
P
l
2
2
2
l
2
2
l
2
P
5
1
5
2
M
(
x
l
)
l
P
l
P
l
P
l
P
l
P
l
P
l
Rys. 4.39
2
l
2
2
2
P
5
9
15
2
M
(
x
3
l
)
(
l
)
P
3
l
P
l
P
l
P
l
P
l
2
P
l
2
l
2
2
2
Okrelamy pooenie przekroju, w którym sia tnca jest równa zeru:
5
P
P
x
l
0
2
5
x
l
2
W tym przekroju moment gncy osiga lokalne ekstremum, równe:
2
5
P
5
5
5
25
25
17
M
x
l
l
P
l
P
l
P
l
P
l
P
l
P
l
2
2
l
2
2
2
8
4
8
przedzia CD:
0
x
l
(rys. 4.38)
T
(
x
0
M
(
x
)
M
2
P
l
Â
[ Pobierz całość w formacie PDF ]