[ Pobierz całość w formacie PDF ]
OBLICZANIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW
BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH,
TWIERDZENIE STEINERA – LABORATORIUM RACHUNKOWE
Przy obliczeniach wytrzymałoŚciowych dotyczĄcych niektórych przypadków
obciĄŻenia (np. zginanie) potrzebna jest znajomoŚĆ pewnych wielkoŚci geometrycznych
charakteryzujĄcych przekroje poprzeczne prĘtów. WielkoŚciami tymi sĄ momenty
bezwładnoŚci wzglĘdem osi, moment wzglĘdem układu osi, nazywany równieŻ
momentem dewiacji lub odŚrodkowym oraz momenty biegunowe.
Moment bezwładnoŚci
A
x
figury płaskiej wzglĘdem osi x nazywamy sumĘ
iloczynów elementarnych pól d
A
tego pola przez kwadrat odległoŚci tych pól od osi x
(rys.1).
Momenty bezwładnoŚci:
-
osiowe momenty bezwładnoŚci
J
x
, J
y
(wzglĘdem prostej lub osi).
-
biegunowy moment bezwładnoŚci
J
O
(moment bezwładnoŚci wzglĘdem
ustalonego punktu O, zwanego czĘsto biegunem),
-
dewiacyjny
moment
bezwładnoŚci
J
xy
(zboczeniowy
moment
lub
odŚrodkowy) – moment bezwładnoŚci wzglĘdem układu osi.
Rys.1. Oznaczenie elementarnego pola d
A
.
JednostkĄ wymiarowĄ momentów bezwładnoŚci jest m
4
. Momenty osiowe oraz
moment biegunowy sĄ zawsze dodatnie, natomiast moment dewiacyjny moŻe byĆ
dodatni lub ujemny lub równy zero.
1
Definicja momentów bezwładnoŚci
:
1.
Osiowe momenty bezwładno
Ś
ci
∫
2
∫
2
J
=
y
dA
J
=
x
dA
x
y
A
A
2.
Biegunowy moment bezwładno
Ś
ci
Moment bezwładnoŚci biegunowy figury płaskiej wzglĘdem poczĄtku układu
prostokĄtnego równa siĘ sumie momentów bezwładnoŚci wzglĘdem dwu osi układu
leŻĄcego w płaszczyŹnie figury.
∫
2
∫
2
2
∫
2
∫
2
J
=
r
dA
=
(
x
+
y
)
dA
=
x
dA
+
y
dA
=
J
+
J
0
y
x
A
A
A
A
3.
Moment dewiacyjny (zboczenia, odŚrodkowy)
dA
∫
J
=
xy
xy
A
Momenty bezwładnoŚci wzglĘdem osi równoległych.
Twierdzenie Steinera
PrzesuŃmy
prostokĄtny
układ
współrzĘdnych
w
stosunku
do
pierwotnie
przyjĘtego Oxy o składowe przesuniĘcia
a
,
b
.
ZnajĄc dla pierwotnego układu osi momenty bezwładnoŚci J
x
, J
y
i moment
dewiacyjny J
xy
– wyznacza siĘ dla nowego układu momenty J
xc
, J
yc
i J
xcyc
.
Rys.2. Oznaczenie do wzoru Steinera.
W przypadku gdy poczĄtek układu xy pokrywa siĘ ze Środkiem ciĘŻkoŚci figury,
momenty statyczne sĄ równe zero i twierdzenie Steinera moŻna przedstawiĆ:
2
2
J
=
J
+
Ab
J
=
J
+
Aa
yc
y
xc
x
J
=
J
+
Aab
xcyc
xy
2
Moment bezwładnoŚci figury płaskiej wzglĘdem osi odległej od Środka ciĘŻkoŚci o
a
jest równy momentowi bezwładnoŚci wzglĘdem osi równoległej przechodzĄcej przez
Środek ciĘŻkoŚci, zwiĘkszonemu o iloczyn całej powierzchni figury przez kwadrat
odległoŚci
a (Aa
2
).
Twierdzenie Steinera umoŻliwia obliczanie momentów bezwładnoŚci figur
płaskich wzglĘdem osi równolegle przesuniĘtych w stosunku do osi centralnych
(osi przechodzĄcych przez Środek ciĘŻkoŚci przekroju).
Momenty
bezwładnoŚci
figur
złoŻonych
sĄ
sumĄ
momentów
bezwładnoŚci prostych figur składowych.
Figura złoŻona moŻe składaĆ siĘ z figur „pełnych” oraz „pustych”. Przy
sumowaniu momentów bezwładnoŚci figury „puste” uwaŻa siĘ za figury z ujemnymi
polami powierzchni.
Rys.3. Podział figury złoŻonej na figury proste
(jeden z moŻliwych do zastosowania podziałów figury).
3
Definicja momentu statycznego w układzie osi X i Y.
Rys.4. Definicja momentu statycznego
W zaleŻnoŚci od połoŻenia przekroju wzglĘdem osi układu współrzĘdnych mogĄ
przyjmowaĆ wartoŚci dodatnie i ujemne.
WykorzystujĄc znane ze statyki pojĘcie Środka sił, dla Środka ciĘŻkoŚci moŻna
napisaĆ:
Obliczanie współrzĘdnych Środka ciĘŻkoŚci figur płaskich.
Przy wykorzystaniu definicji momentów statycznych figur płaskich współrzĘdne Środka
ciĘŻkoŚci figury płaskiej obliczymy ze wzorów:
S
S
y
x
=
y
=
x
c
c
A
A
Przydatne twierdzenia do obliczania współrzĘdnych Środka ciĘŻkoŚci figury płaskiej:
- gdy figura płaska ma oŚ symetrii, to Środek ciĘŻkoŚci leŻy na tej osi,
- jeŻeli figura płaska ma dwie osie symetrii, to Środek ciĘŻkoŚci leŻy w punkcie
przeciĘcia tych osi.
4
JeŻeli przekrój składa siĘ z
n
czĘŚci o znanych polach powierzchni
A
i
oraz
współrzĘdnych Środków ciĘŻkoŚci
x
i
i
y
i
to współrzĘdne Środka ciĘŻkoŚci oblicza siĘ ze
wzorów.
n
n
∑
∑
A
×
y
A
×
x
i
i
i
i
y
=
x
=
i
=
1
i
=
1
c
c
n
n
∑
∑
A
A
i
i
i
=
1
i
=
1
Przykład [3]
OkreŚliĆ połoŻenie Środka ciĘŻkoŚci figury przedstawionej
na rysunku.
Przekrój podzielono na trzy prostokĄty o nastĘpujĄcych
polach powierzchni:
A1 = 1
1 = 1 cm
2
,
×
5 = 10 cm
2
,
A2 = 2
×
2 = 4 cm
2
.
A3 = 2
×
WspółrzĘdne Środka ciĘŻkoŚci całej figury wynoszĄ
Celem laboratorium jest wyznaczenie osiowych momentów
bezwładnoŚci J
x
i J
y
oraz dewiacyjnego momentu bezwładnoŚci J
xy
KolejnoŚĆ postĘpowania przy wyznaczaniu połoŻenia głównych centralnych osi
bezwładnoŚci i wartoŚci głównych centralnych momentów bezwładnoŚci:
- przyjĘcie poczĄtkowego układu osi współrzĘdnych Oxy.
- podział figury na proste figury składowe,
- obliczenia pola powierzchni i wyznaczenie Środków ciĘŻkoŚci figur składowych,
- obliczenia pola powierzchni i wyznaczenie połoŻenia Środka ciĘŻkoŚci pola całej figury,
- wyznaczenie osiowych momentów bezwładnoŚci J
x
i J
y
oraz dewiacyjnego momentu
bezwładnoŚci J
xy
.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]