[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Obliczenia klasyczne i kwantowe.4. PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJNiechUiVb¸d¸ przestrzeniami wektorowymi nad cialemKo wymiarach odpowied-e aniomin.Iloczyn tensorowyUVjestmn-wymiarow¸przestrzeni¸ nadKaaskladaj¸ca si¸ z kombinacji liniowych ”tensor´w prostych”u⊗v, u∈U,v∈V. Przyaeotym zakladamy, ze˙(ku +lu)⊗v=k(u⊗v)+l(u⊗v);u⊗(kv +lv) =k(u⊗v)+l(u⊗v) orazje´li rodziny{ui}i{vi}s¸ bazamiUiVodpowiednio, to rodzina wszys-satkich iloczyn´wui⊗vjtworzy baz¸ przestrzeniUoeV.Je´liH1iH2s¸ przestrzeniami Hilberta nadCtoH1H2te˙ jest przestrzeni¸sazaHilberta wzgl¸dem iloczynu skalarnego zdefiniowanego nast¸puj¸co:ee aai(ui⊗vi),ijbj(uj⊗vj) =ijaib∗·ui, uj·vi, vj.jPrzeksztalcenie przestrzeni Hilberta (operatorHwH)nazywa si¸hermitowskimeje´li jego macierz [aij] w bazie ortonormalnej spelnia warunekaij=a∗.sjiOperatorTz przestrzeni HilbertaH1w przestrze´ HilbertaH2nazywa si¸uni-netarnymje´liTzachowuje iloczyn skalarny:T(x),T(y) =x, y.sTwierdzenie.Dla ka˙ dego operatora hermitowskiegoTistnieje baza ortonor-zmalna skladaj¸ca si¸ z wektor´w wlasnychT.aeoOznacza to, zeTjest kombinacj¸ liniow¸ rzutowa´˙aantory wlasne.iriPina odpowiednie wek-NiechS:U1→U2iT:V1→V2b¸d¸ operatorami liniowymi. Definiujemye ailoczyn tensorowy operator´wS⊗Tw spos´b nast¸puj¸cy:ooe aS⊗T(u⊗v)=S(u)⊗T(v).Zadanie 1.Udowodni´: (a) Warto´´ wlasna przeksztalcenia hermitowskiego jestcscliczb¸ rzeczywist¸.aa(b) Warto´´ wlasna przeksztalcenia unitarnego ma modul 1.sc1(c) Wektory wlasne przeksztalcenia unitarnego odpowiadaj¸ce r´znym warto´ciomao˙swlasnym s¸ ortogonalne.a(d) NiechAb¸dzie macierz¸ operatoraS,aBb¸dzie macierz¸ operatoraTw pewnycheaeaustalonych bazach przestrzeniU1,U2,V1iV2. Wtedy w odpowiednich bazach ten-sor´w prostych operatorS⊗Tma macierzC=A⊗Bpostacic(jk)(lm)=ajlbkm(gdyowypisujemy macierzCstosujemy leksykograficzne uporz¸dkowanie indeks´w).aoPOSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ1.Stan ukladu kwantowego jest reprezentowany przez unormowany elementiloczynu tensorowego (C2)⊗k:(...(H1gdzieHi∼C=H2)....)Hk,Cwzgl¸dem izomorfizm´w przestrzeni Hilberta,i≤k.eoElementyHis¸ oznaczane przez|h, a tensory proste (...(|h1⊗ |h2...)⊗ |hks¸aaoznaczane przez|h1h2...hk. Ka˙ dy unormowanyh∈Hijest nazywanykubitemz(superpozycjaliniowastan´w|0= (1, 0) i|1= (0, 1)). Stany, kt´re nie s¸ prezen-ooatowane przez tensory proste nazywaj¸ si¸spl¸tanymi.a eaIloczyn skalarnyφ, ψstan´w|φi|ψjest oznaczany przezψ|φ.oWtedy rzutowaniePψ|φjest r´wne|ψψ|φ.oSystem oznacze´ Dirac’a traktuje|ujako kolumn¸, au|- jako wiersz.ne2.Liczbaψ|φjest nazywanaamplitud¸ prawdopodobie´ stwaznalezieniaanstanu|φw|ψi jest oznaczanaa(φ→ψ).Prawdopodobie´ stwo przej´cia znssukcesemtestuψprzezφjest okre´lone jakop(φ→ψ)=|a(φ →ψ)|2.s3.Wielko´ci fizyczne s¸ reprezentowane przez operatory hermitowskie nazywanesaobserwablami(=przeksztalcenia odpowiednich (C2)⊗k). ObserwableT1iT2s¸wyk-aluczaj¸ce si¸, je´li komutator [T1, T2] =T1T2−T2T1jest nietrywialny (= 0).Nieaesmo˙ na jednocze´nie mierzy´ wykluczaj¸cych si¸ wielko´ci ukladu kwan-zscaestowego.Stan|φwyklucza stan|ψje´li rzutowaniaPφiPψs¸ wykluczaj¸ce si¸.saae4. Ewolucje dynamiczneoperatory unitarne.1uklad´w kwantowych s¸ reprezentowane s¸ przezoaaW obliczeniach kwantowych ustalamybaz¸ obliczeniow¸przestrzeni stan´weaoukladu kwantowego (C2)⊗nw spo´b nast¸puj¸cy.oe a1np. przez oddzialywanie pola magnetycznego2Baza obliczeniowa:Dla ka˙ dego 0≤x≤2n−1 niech|x=|xn−1...x, gdziezx=x+ 2x1+...+ 2n−1xn−1,xi∈ {0,1}.1Zadanie 2.(a) Czy stan√2(|01 +|10) jest spl¸tany ?a(b) Jaki warunek charakteryzuje kombinacje liniowe bazy{ui⊗vj},kt´re odpowiadaj¸oastanom niespl¸tanym?aZadanie 3.(a) Pokaza´, ze ortonormalna baza stanowitest maksymalny,tzn.c ˙sklada si¸ ze stan´w niewykluczaj¸cych si¸ i suma prawdopodobie´stw przej´cia zeoaenssukcesem test´w bazy jest r´wna 1.oo(b) Bazy{ui}i{vi}s¸dopelniaj¸ce si¸, je´li prawdopodobie´stwo przej´cia z sukce-aaesns1sem dowolnego testu jednej z nich przez dowolny element drugiej bazy jest r´wnedim.oPoda´ przyklad takich baz.c√Zadanie 4.Znale´´ macierz przeksztalcenia unitarnego jednokubitowegonot,zctzn. po podw´jnym zastosowaniu otrzymujemyo|0 → |1,|1 → |0.Niech operatorTdziala na podzbiorze kubit´w odpowiadaj¸cych indeksom zbioruoaI.RozpatrzmyoperatorU=T[I] na calej przestrzeni stan´w, kt´ry dziala jakooooperatorTzastosowany do rejestruIi to˙ samo´ciowo na innychHj.zsGdyI={p},toT[I] =Id{1,...,p−1}⊗T⊗Id{p+1,...,n}.W przypadkuI={p1, ..., pr}prezentujemyT=j1,...,jr,k1,...,kr∈{0,1}tj1,...,jr,k1,...,kr(|j1k1|) ⊗...⊗(|jrkr|),gdzie ka˙ dy skladnik traktujemy jako tensorowy produkt jedno-kubitowych opera-ztor´woT1⊗...⊗Tr.Wtedy definujemyU=T[p1, ..., pr] jako odpowiedni¸ sum¸r-krotnychsuperpozycjiaeT[p1]·...·T[pk].Uwaga (´wiczenie).Gdyp1=p2, operatoryT[p1] iT[p2] komutuj¸.caZadanie 5.(a) Jaka jest og´lna posta´ operator´wT[1] iT[2] w przestrzenioco(C ) dla jedno-kubitowegoT?(b) Jaka jest og´lna posta´ operatoraT[1, 3] w przestrzeni (C2)⊗3dla dwukubitowegoocT?(c) Przeksztalcenie unitarne jednokubitowe zdefiniowane naC⊕Cw bazie|0,|1przez macierz1H=√[1 1]1−12jest nazywanebramk¸ Hadamara.aJaka jest posta´H[2]w przestrzeniH1⊗H2⊗H3?c2⊗23Niechfb¸dzie funkcj¸ ze zbioru wszystkichn-kubit´w postaci|¯,xi∈ {0,1}, weaoxzbi´rm-kubit´w postaci|¯,yj∈ {0,1}.ooyNiechUfb¸dzie przeksztalceniemm+n-kubitowymokre´lonym na wektorach bazowychesprzez|¯y→ |¯(¯⊕f(¯)) , gdzie⊕oznacza dodawaniemod(2).x¯xyxLemat.PrzeksztalcenieUfjest przeksztalceniem unitarnym.(´wiczenie)c4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]