[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Matematyka finansowa
17.05.2003
1.
Na poczÄ…tku roku (w chwili
t
= ) portfel pewnego funduszu inwestycyjnego składa
0
siÄ™ z
40%
obligacji typu I oraz
60%
obligacji typu II. O obligacjach typu I oraz typu II
wiadomo, że:
(i)
obligacja typu I płaci kupony rocznie z dołu w wysokości
4%
wartości nominalnej tej
obligacji;
(ii)
cena oraz
duration
obligacji typu I wyznaczone przy stopie procentowej
i = 6%
wynoszÄ… odpowiednio
80%
jej wartości nominalnej oraz
d
I
,
=
9
.
98
;
0
(iii)
obligacja typu II płaci kupony rocznie z dołu w wysokości
6%
wartości nominalnej tej
obligacji;
(iv)
cena oraz
duration
obligacji typu II wyznaczone przy stopie procentowej
i = 6%
wynoszÄ… odpowiednio
90%
jej wartości nominalnej oraz
d
II
=
8
.
85
.
0
,
Na końcu pierwszego roku kwoty otrzymane z kuponów są reinwestowane w dwuletnie
obligacje zerokuponowe.
Wyznacz
duration
d
portfela funduszu inwestycyjnego na początku następnego roku
(w chwili
t
=
1
) przy stopie procentowej
i = 6%
.
Odpowiedź (podaj najbliższą wartość):
A.
7.95
B.
8.15
C.
8.35
D.
8.55
E.
8.75
1
Matematyka finansowa
17.05.2003
2.
Przyjmijmy następujące oznaczenia dla opcji europejskich:
S
- obecna cena akcji;
E
- cena wykonania opcji;
C
- cena europejskiej opcji call przy cenie wykonania
E
;
E
P
- cena europejskiej opcji put przy cenie wykonania
E
;
n
- okres do wykonania opcji.
Dla pewnej akcji wiadomo, że:
(i)
C
=
P
dla
E
= oraz każdego
S
n
>
0
;
E
E
(ii)
dla
n
= oraz
n
E
=
S
cena opcji call (równa cenie opcji put) wyznaczona ze wzoru
Blacka – Sholesa wynosi
X
.
Wyznacz, ile będzie wynosić cena opcji wyznaczona ze wzoru Blacka – Sholesa w przypadku
gdy:
(i)
natężenie oprocentowania wzrośnie dwukrotnie;
(ii)
wariancja natężenia oprocentowania zmaleje czterokrotnie;
(iii)
obecna cena akcji i cena wykonania wzrosnÄ… dwukrotnie;
(iv)
okres do wykonania opcji wzrośnie czterokrotnie.
Odpowiedź:
X
A.
2
B.
X
C.
2
â‹…
X
D.
â‹…2
E.
żadna z odpowiedzi A, B, C oraz D nie jest prawidłowa
X
2
 Matematyka finansowa
17.05.2003
3.
Rozważmy plan spłaty
40 - letniego
kredytu w nieznanej wysokości
L
, o którym
wiadomo, że:
(i)
przez pierwsze
10 lat
na końcu każdego roku spłacane będzie jedynie
25%
kwoty
odsetek od oryginalnego zadłużenia;
(ii)
przez kolejne
10 lat
na końcu każdego roku spłacane będą jedynie odsetki od
bieżącego zadłużenia;
(iii)
przez ostatnie
10 lat
na końcu każdego roku spłacany będzie jedynie kapitał przy
użyciu równych rat, przy czym łącznie w tym okresie zapłacone zostanie
50%
nominalnej kwoty zadłużenia.
Proszę obliczyć wysokość stałej raty płatnej na końcu każdego roku w trzecim
10 – letnim
okresie spłaty, jeśli wiadomo, że gdyby w pierwszym oraz drugim
10 – letnim
okresie spłaty
na końcu każdego roku spłacane było
50%
kwoty odsetek od oryginalnego zadłużenia przy
niezmienionych płatnościach w ostatnim
10 – letnim
okresie spłaty, to wynosiłaby ona
450 000.
Wiadomo ponadto, że efektywna roczna stopa procentowa (
ang. annual effective
interest rate
) wyniesie odpowiednio
14%
,
12%
,
10%
oraz
8%
w kolejnych
10 – letnich
okresach spłaty.
Odpowiedź (podaj najbliższą wartość):
A.
213 046
B.
233 046
C.
253 046
D.
273 046
E.
293 046
3
Matematyka finansowa
17.05.2003
4.
Rozważmy zakup jednej z dwóch rent:
Renta 1
2n + 1 – letnia
renta pewna natychmiast płatna o płatnościach
r
dokonywanych na końcu
k – tego
roku zdefiniowanych następująco:
1
dla
k
=
1


{
}
r
=
r
+
k
dla
k
∈
2
,
3
,......,
n
+
1
k
k
−
1

{
}
r
−
2
n
−
3
+
k
dla
k
∈
n
+
2
,
n
+
3
,......,
2
n
+
1
k
−
1
Wiadomo, że największa płatność, która ma być otrzymana z tytułu tej renty wynosi
780
.
Renta 2
2n + 1 – letnia
renta pewna natychmiast płatna o płatnościach
r
dokonywanych na końcu
k – tego
roku zdefiniowanych następująco:



+
2
n
1


0
dla
k
∈
10
,
20
,
.....,
10
â‹…



r
=
10
k

r
dla
pozostalyc
h
k
k
Ile wynosi różnica cen Renty 1 oraz Renty 2, jeśli wiadomo, że cena każdej renty jest równa
wartości obecnej tej renty (
ang. present value
) obliczonej przy efektywnej rocznej stopie
procentowej (
ang. annual effective inerest rate
) wynoszÄ…cej
i = 10%
.
Odpowiedź (podaj najbliższą wartość):
A.
89.51
B.
99.51
C.
109.51
D.
119.51
E.
129.51
4
 Matematyka finansowa
17.05.2003
5.
Które z poniższych tożsamości są prawdziwe?
(i)
∞
=
1
1


m
−
1
m
(
−
1
)
â‹…
i
â‹…
−
=
δ


(
m
)
(
m
)
d
i
m
1
1
(
m
)
(
m
)
(ii)
(
I
a
)
=
∞
|
m
â‹…
(
i
(
m
)
−
d
(
m
)
)
∂
n
+
1
(iii)
−
δ
â‹…
(
a
|
)
=
a
−
a
−
n
â‹…
v
∂
i
n
n
+
1
|
1
|
Odpowiedź:
A.
tylko (i)
B.
tylko (ii)
C.
tylko (iii)
D.
(i), (ii) oraz (iii)
E.
żadna z odpowiedzi A, B, C oraz D nie jest prawidłowa
Uwaga: W powyższych tożsamościach n oraz m są liczbami naturalnymi większymi od 0,
natomiast v oraz
δ
oznaczają odpowiednio stopę dyskontującą oraz intensywność
oprocentowania odpowiadajÄ…ce efektywnej stopie procentowej (ang. effective rate of
∂
oznacza pochodnÄ… czÄ…stkowÄ….
return) i
>
0
∂
5
Â
[ Pobierz całość w formacie PDF ]