[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rownania Rozniczkowe Zwyczajne
wyklad dla studentow na kierunku automatyka i robotyka wersja robocza (20 sierpien 2005)
Boguslaw Bozek
Wydzial Matematyki Stosowanej AGH
1
Spis tresci
Rozdzial 1. Wprowadzenie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Rozdzial 2. Elementy analizy funkcjonalnej
. . . . . . . . . . . . . . . 9
Rozdzial 3. Twierdzenia o istnieniu i jednoznacznosci
. . . . . . . . 11
Rozdzial 4. Proste typy rownan rozniczkowych skalarnych
. . . . . 15
4.1. Rownanie rozniczkowe o zmiennych rozdzielonych . . . . . . . . . . . . . 15
4.2. Rownanie jednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3. Rownanie rozniczkowe zupelne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3.1. Czynnik calkuj acy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.4. Rownanie Clairauta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Rozdzial 5. Liniowe rownania rozniczkowe
. . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.1. Rownania i uklady rownan rozniczkowych liniowych . . . . . . . . . . . . 21
5.2. Skalarne rownanie liniowe rzedu pierwszego . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3. Rownanie Bernoulliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.4. Rownanie Riccatiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.5. Rownanie Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.6. Skalarne rownanie rozniczkowe liniowe
ntego rz edu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.7. Obnizanie rzedu rownania liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.7.1. Wzor Liouville’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.7.2. Rownania wyzszych rz edow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.8. Niejednorodne rownanie rozniczkowe liniowe
ntego rz edu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.9. Rownanie liniowe ntego rz edu o stalych wspolczynnikach . . . . . . . . . 31
5.10. Metoda przewidywan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.11. Uklad skalarnych rownan rozniczkowych liniowych rz edu pierwszego . . . 33
5.12. Uklady rownan liniowych o stalych
wspolczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.12.1. Metoda wartosci i wektorow wlasnych . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.12.2. Sprowadzanie macierzy ukladu do postaci Jordana . . . . . . . . 38
5.13. Rownanie ruchu harmonicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3
Spis tresci
Rozdzial 6. Rozwi azania w postaci szeregow funkcyjnych
. . . . . . 43
6.1. Rozwi azania w postaci szeregow pot egowych . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.1. Uklad rownan liniowych rzedu pierwszego o stalych
wspolczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.1.2. Skalarne rownania rozniczkowe rzedu pierwszego i drugiego . . . 44
6.2. Rownania rozniczkowe liniowe rzedu drugiego – szeregi Frobeniusa . . . 46
Rozdzial 7. Stabilnosc rozwi azan rownan rozniczkowych
. . . . . . . 49
7.1. Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.2. Twierdzenie Lapunowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.3. Problem Routha–Hurwitza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.4. Punkty osobliwe rownania rozniczkowego zupelnego . . . . . . . . . . . . 54
Rozdzial 8. Transformata Laplace’a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.1. Podstawowe definicje i twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2. Wyznaczanie transformaty rownania rozniczkowego . . . . . . . . . . . . 58
8.3. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty . . . . . . . . . . . . 59
Rozdzial 9. Dodatek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.1. Tablice transformat Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.2. Przykladowe tematy zadan egzaminacyjnych – studia dzienne . . . . . . 66
9.3. Przykladowe tematy zadan egzaminacyjnych – studia zaoczne . . . . . . 81
Bibliografia
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Rozdzial 1
Wprowadzenie
Rownaniem rozniczkowym nazywamy zwi azek mi edzy pewn a nieznan a funkcj a,
a jej pochodnymi; gdy funkcja niewiadoma jest funkcj a jednej zmiennej, to mowimy
o rownaniu rozniczkowym zwyczajnym, w przeciwnym wypadku o rownaniu
rozniczkowym cz astkowym. Zwi azek postaci
F(t,x(t),x
′
(t),...,x
(n)
(t)) = 0
nazywamy rownaniem rozniczkowym zwyczajnym ntego rz edu, jesli lewa strona
istotnie zalezy od x
(n)
. Nie musi oba zalezec od x i t. Przykladowo rownanie
x
′′′
+ t(x
′
)
30
−e
x sin t
= 0
jest rownaniem rozniczkowym rz edu trzeciego. Funkcja x moze byc funkcj a ska
larn a, albo wektorow a.
Rownania rozniczkowe w zagadnieniach technicznych powstaj a na ogol w wy
niku stosowania nast epuj acych metod post epowania:
a) Przedstawiania praw fizyki w postaci matematycznoanalitycznej.
b) Przedstawiania zwi azkow geometrycznych w postaci analitycznej.
c) Rugowania parametrow z nparametrowej rodziny funkcji i n rownosci.
Ad a) Niech v :
×
R
3
⊃[t
0
,T]×
R
3
∋(t,x)→v(t,x)∈
R
3
b edzie zadanym
= v(t,x) opisuje ruchy cz astek unoszonych w polu
v. Jesli dodatkowo przyj ac warunek x(t
0
) = x
0
, to x(t) jest polozeniem w chwili
t tej cz astki, ktora w chwili t
0
znajdowala si e w punkcie x
0
.
Ad b) Niech y = f(x). Wielkosc
′
(1 + (y
)
2
)
2
|y
′′
|
(A)
′
ρ(A) =
5
R
polem pr edkosci. Rownanie x
[ Pobierz całość w formacie PDF ]