[ Pobierz całość w formacie PDF ]
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
DEF 1
.
Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu
nazywamy równanie postaci
F(x , y , y
’
)=0,
gdzie y
’
oznacza pochodną funkcji y zmiennej x.
UWAGA 1
. Zamiast y
’
będziemy również pisać
dx
dy
.
(x )
)=0.
DEF 3
.
Rozwiązaniem ogólnym
równania różniczkowego zwyczajnego jest funkcja postaci j(x , C), gdzie CÎR.
Przy ustalonym C rozwiązanie ogólne staje się
rozwiązaniem szczególnym.
UWAGA 2
. Dane równanie różniczkowe może mieć nieskończenie wiele rozwiązań szczególnych.
PRZYKŁAD 1
.Spróbujmy rozwiązać równanie postaci y
’
= y. Rozwiązaniem tego równania może być funkcja
x
’
y
= , ponieważ tylko ta funkcja i jej pochodna są równe. Jest to rozwiązanie szczególne bowiem
rozwiązanie ogólne jest postaci
e
Ce
= dla dowolnej liczby rzeczywistej C.
Rozwiązanie szczególne powstaje, gdy w rozwiązaniu ogólnym podstawić za C konkretną liczbę
np.: C=1.
PRZYKŁAD 2
. Rozwiąż równanie
y
=
Ce
x
. Istotnie
x
(
x
Ce
)'
y
’
= 2y
y = e
2x
(e
2x
)
’
= 2e
2x
.
y = e
2x
- rozwiązanie szczególne
y = C e
2x
- rozwiązanie ogólne
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE O ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH
DEF 4.
Równaniem różniczkowym zwyczajnym o
rozdzielonych zmiennych
nazywamy równanie postaci
dy
yp
=
)(
x
dx
q
(
)
,
gdzie p i q oznaczają funkcje ciągłe jednej zmiennej.
PRZYKŁAD 3
. Rozwiążemy równanie postaci
dy
= x.
y
2
dx
W tym celu rozdzielimy zmienne dzieląc obie strony równania przez dx co daje nam
y
2
dy= x dx .
Całkujemy obustronnie
ò y
2
dy= ò x dx .
i otrzymujemy
1
y
3
=
2
1
x
2
+C
skąd
3
x
2
+3 C -rozwiązanie ogólne.
y
3
=
2
PRZYKŁAD 4
. Rozwiążmy równanie
1
+
dy
x
.
2
)
-
1
-
y
2
=
0
dx
Mamy
1
y
dx
+
dy
x
-
2
)
=
2
.
Dzielimy najpierw przez (1+x
2
) a następnie przez
1
y
-
2
(
1
-
y
oraz mnożymy przez dx i otrzymujemy
2
¹
0
1
dy
y
2
=
1
dx
.
1
-
2
1
+
x
Całkujemy obustronnie
ò
1
dy
=
ò
+
1
dx
1
x
2
1
-
y
2
skąd
C
arcsin
arctgy
+
, więc rozwiązaniem ogólnym jest
y
=
sin(
C
arctgx
+
).
PRZYKŁAD 5.
Rozwiążemy równanie postaci
2x
2
dy
= y.
DEF 2
.
Rozwiązaniem
równania różniczkowego zwyczajnego jest każda funkcja klasy C
1
postaci y=j(x), która
spełnia to równanie tzn.: F(x , j(x) , j
3
(
(
=
dx
W tym celu rozdzielimy zmienne dzieląc obie strony równania najpierw przez 2x
2
, x ¹ 0 co daje nam
dy
=
y
,
dx
2
x
2
a następnie przez y przy założeniu, że y ¹ 0 i otrzymujemy postać
y
=
dy
1
.
dx
2
x
2
Teraz mnożymy obie strony przez element dx i dostajemy
dx
1
dy
y
2
=
1
.
2
x
Całkujemy obustronnie
ò
dy
y
2
=
dx
x
ò
1
2
i otrzymujemy ln|y| = -
x
2
1
+C
-
1
+
C
-
1
-
1
skąd
y
=
e
2
x
=
e
C
e
2
x
=
C
e
2
x
.
1
x
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE POSTACI y
’
= f(ax + by +c)
Rozpatrzymy teraz równanie postaci
2
2
(
0
)'
=
0
y
’
= f(ax + by +c),
w którym wykonujemy podstawienie
u =ax +by +c
, skąd
du
=
a
+
b
dy
dx
dx
i
b
=
1
du
-
a
, dla b ¹ 0.
dx
b
dx
dy
=(x-y)
2
+ 1 przy warunku początkowym
1
PRZYKLAD 6
. Rozwiążmy równanie
dx
y
dla x=0.
2
Podstawmy
u = x - y,
du
dy
skąd
= 1 ,
-
dx
dx
dy
du
więc
= 1 .
-
dx
dx
du
.
Wstawmy to do równania i dostajemy
1
-
u
dx
=
2
+
1
du
Dalej mamy
=
-
u
2
dx
u
1
i
ò
-
dx
du
=
ò
,
skąd
C
u
+
=
x
,
1
czyli
C
u
=
.
x
+
1
Wracając do naszego podstawienia otrzymujemy
C
x
-
y
=
, ostatecznie więc rozwiązaniem ogólnym jest
x
+
1
y
=
x
-
.
x
+
C
1
1
Uwzględniając warunek początkowy mamy
C
=
0
0
-
, czyli C=-2, więc jednym z rozwiązań szczególnych jest
2
+
1
-
1
funkcja
y
, która dla x=0 przyjmuje wartość
=
x
x
-
y
.
=
2
2
PRZYKLAD 7
. Rozwiąż równanie y’ = 2x + 3y +1.
Podstawmy
oraz
u =2x + 3y +1
1
1
Funkcja stała y = 0 jest także rozwiązaniem tego równania , bo
dy
=
1
u’ = 2 +3 y’
stąd
y’ =
u
'-
2
3
Mamy
u
= u
'-
2
3
czyli
u’ – 2 =3 u
du
= 3u + 2
dx
du
= dx
3
u
+
2
1
ln|3u + 2| = x + C
3
ln|2x + 3y +1 |= 3x + 3C – rozwiązanie ogólne
y
)
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE POSTACI y
’
= f(
x
Rozpatrzymy teraz równanie postaci
dy
,
=
x
f
è
y
ø
dx
gdzie f jest ciągła i x ¹ 0.
W tym przypadku wykonujemy podstawienie
y
=
u
,
x
skąd
y= x u i
dx
dy
=
u
+
x
du
.
dx
dy
PRZYKLAD 8.
Rozwiążmy równanie
2
xy
.
-
y
x
2
-
2
2
=
0
dx
Zanim wykonamy podstawienie podzielimy obie strony równania przez
x
. Wówczas otrzymujemy równanie
y
dy
æ
y
ö
2
2
-
x
1
-
2
è
ø
=
0
.
x
dx
Wykonujemy podstawienie
u
x
y
=
skąd
dx
dy
=
u
+
x
du
.
dx
Dostajemy
u
è
2
u
+
2
x
du
ø
-
1
-
2
u
2
=
0
dx
du
stąd
2
ux
=
1
dx
udu
1
Po przekształceniach otrzymujemy
ò
2
=
dx
x
ò
,
więc
C
u
+
2
= ln
x
.
æ
y
ö
2
Po uwzględnieniu wcześniejszego podstawienia otrzymujemy
C
è
ø
=
ln
|
x
|
+
,
x
skąd
C
y
2
=
x
2
ln
|
x
|
+
.
dy
=
3
1
+
y
PRZYKLAD 9.
Rozwiąż równanie
x
dx
y
.
+
x
Najpierw dokonujemy podstawienia
u
x
y
=
skąd
dx
dy
=
u
+
x
du
.
dx
du
=
u
1
Mamy
u + x
dx
+u
3
+
du
=
u
1
x
dx
3
+
æ
ö
2
æ
ö
(3+u) du =
x
dx
dx
ò (3+u) du =ò
x
1
u
2
= ln|x| + C
3u +
2
y
+
1
æ
x
y
=ln |x| + C – rozwiązanie ogólne
ö
2
3
x
è
ø
2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE RZĘDU PIERWSZEGO
DEF 5. Równaniem różniczkowym liniowym I- rzędu
nazywamy równanie różniczkowe postaci
dy
+
p
(
x
)
y
=
q
(
)
,
dx
gdzie funkcje p i q są ciągłe zadane zaś y funkcją niewiadomą zmiennej x.
UWAGA 3
. Jeżeli q(x) = 0 to równaniem różniczkowym liniowym I- rzędu nazywamy równaniem różniczkowym
liniowym
jednorodnym
.
UWAGA 4.
Jeżeli q(x) ¹ 0 to równaniem różniczkowym liniowym I- rzędu nazywamy równaniem różniczkowym
liniowym
niejednorodnym
.
DEF 6.
Rozwiązanie równania różniczkowego liniowego niejednorodnym
jest suma rozwiązań: rozwiązania
ogólnego równania różniczkowego jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania różniczkowego
niejednorodnego.
SPOSOBY ROZWIĄZYWANIA R.R.L. I RZĘDU
I. Metoda uzmienniania stałej.
1. Znajdujemy całkę ogólną r.r.l. jednorodnego
dy
+
p
(
x
x
)
y
=
q
(
)
dx
dy
+
y
p
(
x
)
=
0
dx
dy
)
y
=
-
p
(
x
dx
ò
dy
=
ò
(
-
p
(
x
)
)
dx
y
ln
y = C e
-
ò
p(x)dx
,C –dowolna stała
2. Uzmiennianie stałej C
C= C(x)
y = C(x) e
-
ò
p(x)dx
,
3.Różniczkujem y względem x
y
’
= C
’
(x) e
-
ò
p(x)dx
+ C(x) e
-
ò
p(x)dx
× (-p(x)),
4.Podstawiamy y i y
’
do równania y
’
+ p(x) y = q(x)
C
’
(x) e
-
ò
p(x)dx
– C(x) × p(x) × e
-
ò
p(x)dx
+ p(x) × C(x) × e
-
ò
p(x)dx
= q(x)
C
’
(x) e
-
ò
p(x)dx
= q(x)
C
’
(x) e
-
ò
p(x)dx
= q(x)
C
’
(x) = q(x)e
ò
p(x)dx
|
y
=
-
ò
p
(
x
)
dx
dC
)
'
(
x
= q(x)e
ò
p(x)dx
dx
C(x) = ò q(x)e
ò
p(x)dx
dx
5.Uzyskane C(x) wstawiamy do 2
y
1
= e
-
ò
p(x)dx
× ò q(x)e
ò
p(x)dx
dx –całka szczególna r. r. l. niejednorodnego
6.Rozwiązanie końcowe
y
k
= y +y
1
y
k
= C(x) e
-
ò
p(x)dx
+ e
-
ò
p(x)dx
× ò q(x)e
ò
p(x)dx
dx (***)
UWAGA 5
.Rozwiązanie równania y
’
+ p(x) y = q(x) jest y= C(x) e
-
ò
p(x)dx
+ e
-
ò
p(x)dx
× ò q(x)e
ò
p(x)dx
dx.
x
|
PRZYKŁAD 10
. Rozwiążmy równanie y’ +
x
1
y = x .
1
oraz q(x) = x.
Zauważmy, że p(x) =
x
1
y = 0
Znajdujemy całkę ogólną r.r.l. jednorodnego: y’ +
x
Musimy rozwiązać równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych( patrz wyżej)
1
y
y’ = -
x
dy
=
-
y
dx
x
dy
dx
=
-
y
x
ln |y| = -ln|x| +C
dy
=
ò
-
dx
y
x
1
y = C
1
x
Uzmienniamy stałą C
1
C
1
= C
1
(x)
1
(*)
y = C
1
(x)
x
1
- C
1
(x)
1
x
Podstawiamy y i y’ do równania wyjściowego
C’
1
(x)
x
1
- C
1
(x)
1
x
+
x
1
C
1
(x)
x
1
= x
C’
1
(x)
x
1
= x
C’
1
(x) = x
2
dC
(
x
dx
1
)
x
=
2
dC
1
(x) = x
2
dx
ò
dC
1
)
(
x
=
ò
x
2
dx
1
C
=
(
x
)
3
.
1
3
1
x
.
Wstawiamy C
1
(x) do (*) i mamy y =
2
3
Końcowe rozwiązanie jest sumą rozwiązań y
k
=
1
x
+ C
1
(x)
x
2
1
.
3
Inny sposób rozwiązania to podstawienie do wzoru (***) ten sposób będzie pokazany w poniższym przykładzie.
PRZYKŁAD 11
. Rozwiążmy równanie y’ – 3y = 2.
Zauważmy p(x)= -3 oraz q(x) = 2.
Rozwiązanie równania to właściwe podstawienie do wzoru y= C e
-
ò
p(x)dx
+ e
-
ò
p(x)dx
× ò q(x)e
ò
p(x)dx
dx.
Stąd rozwiązanie równania jest postaci
y= C e
-
ò
(-3)dx
+ e
-
ò
(-3)dx
× ò 2e
ò
(-3)dx
dx= C e
3x
+ e
3x
× 2
æ
-
3
1
ø
e
-3x
= C e
3x
-
3
2
y
’
+ p(x) y = q(x)
Metodę przewidywań stosujemy jeśli p(x)= C = Const (czyli jest funkcją stałą) i jeśli potrafimy przewidzieć postać
całki szczególnej
y’= C’
1
(x)
x
x
è
ö
II.
Metoda przewidywań.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]