[ Pobierz całość w formacie PDF ]
PRAWA ZACHOWANIA
Podstawowe terminy
Ciała tworzące układ mechaniczny oddziałują między sobą i z ciałami nienależącymi do
układu za pomocą:
Sił wewnętrznych ‐
Sił działających na dane ciało ze strony innych ciał tego samego
układu,
Sił zewnętrznych ‐
Sił działających na dane ciało ze strony ciał nienależących do
rozpatrywanego układu.
Układ odosobniony ‐
Układ, w którym nie występują siły zewnętrzne.
Energia kinetyczna cząstki
Rozpatrzmy ruch cząstki o masie w układzie inercjalnym pod wpływem sił. Ruch taki
m
podlega drugiemu prawu Newtona
G
=
G
d
mF
F
G
‐ wypadkowa sił działających na cząstkę.
dt
Prawa zachowania 1
Energia kinetyczna cząstki, cd.
G
G
d
mF
υ
=
dt
Pomnóżmy obie strony tego równania przez infinitezymalne przesunięcie
ds
dt
G
=
G
G
G
d
mdt ds
υ
υ =
G
G
dt
GG
G G G G G G
oraz że
d
υυ
=
d
υυ υ υ υ
+
d
=
2
d
υ
Przekształcając to równanie i biorąc pod uwagę, że
(
) (
)
GG
2
υυυ
=
otrzymujemy
GG
G
G
d
υυ
G G
⎛
2
⎞
d
υ
(
)
m
υ
mdt md m d
υ
=
υ υ
=
=
=
dE
⎜
⎟
k
dt
2
2
⎝
⎠
2
m
υ
=
G
G
dE
F ds
gdzie
E
=
‐ energia kinetyczna cząstki. Otrzymujemy więc
k
k
2
G
F
=
0
E
Jeśli na cząstkę nie działa żadna siła (
), to jej energia kinetyczna pozostaje stała.
Dla
G
G
G
F
G
F
≠
0
dE
=
F ds
=
dW
dW
na drodze
ds
G
‐ praca wykonana przez siłę
k
.
Prawa zachowania 2
Energia kinetyczna cząstki, cd.
Otrzymaliśmy
G
G
dE
=
F ds
=
dW
Scałkujmy to równanie obustronnie po dowolnej drodze
k
zaczynającej się w punkcie
1
, a kończącej się w punkcie
2
2
2
2
2
∫
∫
∫
∫
dW
=
dE
dW W
=
dE
=−
E
E
,
k
k
12
k
k
2
1
1
1
1
WEE
=−
k
‐
Praca siły wypadkowej zamienia się na przyrost energii
12
k
2
1
kinetycznej cząstki.
Pole sił zachowawczych
Jeżeli w każdym punkcie przestrzeni cząstka jest poddana działaniu innych ciał, to mówimy,
że cząstka znajduje się w polu sił.
Pole stacjonarne ‐
Pole, które nie zmienia się w czasie.
Pole zachowawcze ‐
Pole stacjonarne, w którym praca wykonana nad cząstką przez siły
pola zależy tylko od początkowego i końcowego położenia cząstki,
nie zależy natomiast od drogi, po której porusza się cząstka.
Prawa zachowania 3
Pole sił zachowawczych, cd.
Praca sił zachowawczych na drodze zamkniętej jest równa
zeru.
WW W W W
=
()()()()0
+
=
−
=
12 I
21 II
12 I
12 II
Zachowawczość siły ciężkości
Siła ciężkości jest siłą zachowawczą. W ograniczonym obszarze
przestrzeni można przyjąć, że siła ta ma w dowolnym punkcie
tę samą wartość, ten sam kierunek i ten sam zwrot. Praca
wykonana przez siły pola na drodze od punktu
1
do punktu
2
wynosi
G
G
G
2
2
G
G G
∫
∫
W ds Fds F
=
=
=
s
12
12
1
1
Prawa zachowania 4
Zachowawczość siły ciężkości, cd.
GG
G
G
G
WFs m s mgs mghh
=
=
=
() ( )
=
−
G
12
12
12
12
g
1
2
W
nie zależy od kształtu toru łączącego punkty
1
i
2
,
12
a więc
F
G
jest tu siłą zachowawczą.
G
G
.
Można pokazać, że siłą zachowawczą jest również każda siła centralna
F Fre
=
()
r
Energia potencjalna cząstki w polu sił
W zachowawczym polu sił każdej cząstce umieszczonej w dowolnym punkcie pola można
przypisać wartość pewnej funkcji
p
Exy z
(,,)
, taką, że praca sił pola przy przeniesieniu tej
cząstki z punktu
1
do punktu
2
równa jest ubytkowi tej funkcji (przyrostowi ze znakiem
minus):
WE
=−
(
−
E
)
Fu
nkcja
p
Exy z
nazywana jest energią potencjalną cząstki.
(,,)
12
p
2
p
1
Prawa zachowania 5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]