[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Prawdopodobieństwo i statystyka 03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Niech
X
1
K
,
X
będzie próbką prostą z rozkładu normalnego
N
( )
2
, zaś:
n
2
1
∑
=
n
( )
2
S
=
X
−
X
,
n
i
i
1
gdzie:
∑
=
1
n
X
=
X
.
n
i
i
1
Interesuje nas względny błąd estymacji:
=
S
2
−
σ
2
R
.
σ
2
Przy
n
=
10
wartość oczekiwana
E
( )
2
jest równa
(A) 0.18
(B) 0.19
(C) 0.01
(D) 0.20
(E) 0.21
1
μ
, σ
R
Prawdopodobieństwo i statystyka 03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną równą 1.
X
1
,
X
2
,
K
,
,
X
n
K
Niech
N
będzie zmienną losową o rozkładzie ujemnym dwumianowym
bin
−
⎝
,2
⎠
e
⎛
+
n
1
⎞
⎛
1
⎞
2
⎛
−
e
1
⎞
n
( )
P
X
=
n
=
⎜
⎝
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
dla
n
=
0
2
K
,
i
n
e
e
⎠
niezależną od zmiennych
X
1
,
X
2
,
K
,
,
X
n
K
.
Niech
M
=
⎧
min
{
X
1
,
X
2
,
K
,
X
N
}
gdy
N
>
0
N
0
gdy
N
=
0
Wyznacz
EM
N
.
(A)
e
−
(B)
e
−
2
e
2
(C)
e
−
1
e
2
(D)
e
(E)
2 −
e
1
2
1
⎛
⎞
Prawdopodobieństwo i statystyka 03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
W urnie znajduje się 40 kul, z których 25 jest białych i 15 czarnych. Losujemy bez
zwracania najpierw 13 kul, a następnie z pozostałych kul w urnie losujemy bez
zwracania 8 kul. Niech oznacza liczbę kul białych w pierwszym losowaniu, a
liczbę kul białych w drugim losowaniu. Oblicz
S
S
2
Cov
(
S
1
S
2
)
.
(A) 0
(B)
5
(C)
5
−
8
(D)
6
−
72
(E)
65
3
,
8
72
Prawdopodobieństwo i statystyka 03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Losujemy ze zwracaniem po jednej karcie do gry z talii 52 kart tak długo aż
wylosujemy pika. Niech
Y
oznacza zmienną losową równą liczbie wyciągniętych kart,
a
X
zmienną losową równą liczbie kart, w których uzyskaliśmy karo. Oblicz
.
|( =
X
4
(A)
10
(B)
9
(C)
12
(D)
6
(E)
7
4
E
Y
Prawdopodobieństwo i statystyka 03.12.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Załóżmy, że
X
1
,
K
,
,
X
n
K
są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
1
=
n
rozkładzie wykładniczym i
EX
=
. Niech
T
0
=
0
i
T
=
X
dla
n
=
1
2
K
.
i
λ
n
i
i
1
Niech
Y
będzie zmienną losową niezależną od zmiennych
X
1
,
K
,
,
X
n
K
, o
rozkładzie gamma o gęstości
( )
⎧
β
2
x
exp
−
β
x
gdy
x
>
0
p
(
x
)
=
⎨
,
⎩
0
gdy
x
≤
0
gdzie
β jest ustaloną liczbą.
0
Niech
}
N
=
max
{
n
≥
0
:
T
n
≤
Y
.
Podaj rozkład prawdopodobieństwa zmiennej
N.
⎛
β
⎞
2
⎛
λ
⎞
n
(A)
( ) ( )
P
N
=
n
=
n
+
1
⎜
⎝
⎟
⎠
⎜
⎝
⎟
⎠
dla
n
=
0
2
K
β
+
λ
β
+
λ
⎛
λ
⎞
2
⎛
β
⎞
n
(B)
( ) ( )
P
N
=
n
=
n
+
1
⎜
⎝
⎟
⎠
⎜
⎝
⎟
⎠
dla
K
n
=
0
2
β
+
λ
β
+
λ
⎛
β
⎞
2
⎛
λ
+
2
β
⎞
⎛
λ
⎞
2
⎛
β
⎞
n
−
1
(C)
( )
( )
P
N
=
0
=
⎜
⎟
,
P
N
=
n
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
dla
n
=
1
2
K
⎝
β
+
λ
⎠
⎝
λ
+
β
⎠
⎝
λ
+
β
⎠
⎝
β
+
λ
⎠
⎛
−
λ
⎞
⎛
λ
⎞
n
1
(D)
( )
P
N
=
n
=
exp
⎜
⎟
⎜
⎟
dla
K
n
=
0
2
β
β
n
!
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
−
β
⎞
β
⎞
n
1
(E)
( )
P
N
=
n
=
exp
⎝
⎠
⎝
⎠
dla
K
n
=
0
2
λ
λ
n
!
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]