[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.10.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie z gęstością
X
1
,
X
2
,
X
3
,
X
4
⎨
2
gdy
x
>
1
f
(
x
)
=
.
x
3
⎩
0
gdy
x
≤
1
Obliczyć
E
⎜
⎝
min
{
X
1
,
X
2
,
X
3
,
X
4
}
⎠
⎞
{
max
X
,
X
,
X
,
X
1
2
3
4
(A)
16
45
(B)
128
245
(C)
8
35
(D)
5
16
(E)
16
35
1
⎧
⎛
}
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.10.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną równą 1.
X
0
,
X
1
,
X
2
,
K
,
,
X
n
K
Niech
N
będzie zmienną losową o rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną
λ
EN
=
, niezależną od zmiennych
X
0
,
X
1
,
X
2
,
K
,
,
X
n
K
.
Niech
}
M
N
=
min
{
X
0
,
X
1
,
X
2
,
K
,
X
N
.
Wyznaczyć
Cov
N
, .
( )
M
N
(A)
(
λ
λ
1
−
λ
−
+
1
1
−
e
(B)
(
λ
λ
1
−
e
1
1
−
(C) 1
(D)
−
e
1
(
λ
1
−
λ
(E)
e
−
λ
1
−
λ
2
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.10.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym
zmienna losowa
N
ma rozkład geometryczny
N
,
X
1
,
X
2
,
K
,
,
X
n
K
( ) ( )
n
P
N
= 1
n
−
q
q
dla
K
n
=
0
2
,
∈
q
)
(
gdzie
0
jest ustaloną liczbą, a
X
1
,
X
2
,
K
,
,
X
n
K
są zmiennymi losowymi o
tym samym rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną
1
. Niech
λ
S
=
⎧
X
1
+
X
2
+
K
+
X
N
gdy
N
>
0
.
0
gdy
N
=
0
Wyznaczyć prawdopodobieństwo
( )
P
≤ , gdy
x
x
≥
0
.
e
−
λ
( )
1
−
q
x
(A)
1
−
2
q
e
−
λ
( )
1
−
q
x
+
1
(B)
1
−
( )
−
q
e
−
λ
( )
x
1
−
q
(C)
1
−
qe
−
λ
( )
x
1
−
q
(D)
1
−
qe
−
λ
qx
(E)
1
−
q
( )
x
1
+
λ
1
−
q
3
1
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.10.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
W urnie znajduje się trzydzieści kul, na każdej narysowana jest litera i cyfra. Mamy
10 kul oznaczonych X1
8 kul oznaczonych Y1
8 kul oznaczonych X2
4 kule oznaczone Y2.
Losujemy bez zwracania 15 kul. Niech określa liczbę kul oznaczonych literą X
wśród kul wylosowanych, a liczbę kul z cyfrą 2 wśród kul wylosowanych.
Obliczyć
N
X
N
2
( )
E
N
X
|
N
2
.
(A)
8
−
5
N
36
2
(B)
1
⎝
25
−
1
N
⎠
3
3
2
(C)
1
⎝
25
+
1
N
⎠
3
3
2
(D)
1
( )
25
N
+
3
2
(E)
8
+
5
36
2
4
⎛
⎞
⎛
⎞
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.10.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Zmienne losowe
X
1
,
K
,
X
n
K
są warunkowo niezależne przy danej wartości
θ i mają rozkład prawdopodobieństwa
( )
(
0
(
θ
P
X
i
=
1
|
θ
=
θ
=
1
−
P
X
i
=
0
|
.
Zmienna losowa θ ma rozkład beta określony na przedziale
(
0
o ęstości
f
(
θ
)
=
12
θ
2
(
−
θ
.
∑
=
n
(
)
Niech
S
n
=
X
i
. Obliczyć
P
S
8
>
S
|0
6
=
0
.
i
1
(A)
5
11
(B)
4
(C)
1
(D)
3
(E)
7
11
5
,
)
5
2
4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]