[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.01.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Załóżmy, że
X
i
Y
są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym
. Zmienna losowa
T
jest równa
(
0
T
=
|
X
|
.
X
2
+
Y
2
∈
x
)
(
Jeśli
0
, to funkcja gęstości
f
zmiennej losowej
T
jest równa
(A)
f
( =
x
1
(B)
f
(
x
)
=
2
2
π
1
−
x
(C)
f
(
x
)
=
x
2
π
1
−
x
(D)
f
(
x
)
=
x
2
1
−
x
4
x
2
(E)
f
(
x
)
=
π
1
−
x
2
1
N
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.01.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech będą niezależnymi dodatnimi zmiennymi losowymi o tym
samym rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej
a
. Niech
N
i
M
będą
zmiennymi losowymi o rozkładach Poissona niezależnymi od siebie nawzajem i od
zmiennych losowych
X
1
,
X
2
,
K
,
,
X
n
K
X
1
,
2
X
,
K
,
,
X
n
K
, przy czym
EN
=
λ
i μ
EM
=
. Niech
Y
=
⎧
max(
X
1
,
X
2
,
K
,
X
n
)
gdy
n
>
0
.
n
0
gdy
n
=
0
( )
Obliczyć
YP
>
+
M
N
Y
M
.
(A)
λ
μ
( )
−
e
−
a
λ
+
(B)
μ
(
μ
−
e
−
λ
−
λ
+
μ
(C)
λ
λ
+
μ
(D)
( )(
λ
1
−
e
−
a
1
−
e
−
λ
−
μ
)
λ
+
μ
(E)
(
μ
λ
1
−
e
−
λ
−
λ
+
μ
2
1
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.01.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Zakładamy, że
X
K
1
,
2
,
,
X
10
,
X
K
11
,
12
,
,
X
20
są niezależnymi zmiennymi losowymi o
rozkładach normalnych, przy czym
EX
i
=
μ
i
VarX
i
=
σ
dla
i
=
1
K
10
,
oraz
EX
=
μ
i
VarX
=
2σ
2
dla
i
=
11
K
,
12
,
,
20
. Parametry
1
, μ i σ są nieznane.
i
i
2
Niech
∑
=
1
10
,
=
1
20
,
∑
=
1
20
X
=
X
X
=
X
X
=
X
.
1
10
i
2
10
i
20
i
i
1
i
11
i
1
Dobrać stałe
a
i
b
tak, aby statystyka
( ) ( )
2
σ
2
ˆ
∑
=
=
a
20
X
−
X
2
+
b
X
−
X
i
1
2
i
1
była estymatorem nieobciążonym parametru .
σ
(A)
a
=
b
1
,
=
−
1
27
54
(B)
a
=
b
1
,
=
−
10
18
18
(C)
a
=
b
1
,
=
−
10
27
27
(D)
a
=
b
1
,
=
−
5
27
27
(E)
a
=
b
1
,
=
−
5
18
18
3
2
,
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.01.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Dysponując pięcioma niezależnymi próbkami losowymi o tej samej liczebności
n
, z
tego samego rozkładu normalnego
N
(
μ
)
z nieznaną wartością oczekiwaną
μ i
znaną wariancją
σ
, zbudowano pięć standardowych przedziałów ufności dla
parametru
μ otrzymując przedziały postaci
⎡
X
−
1
2816
σ
,
X
+
1
2816
σ
⎤
, gdzie
⎣
⎦
i
n
i
n
=
i
Następnie zbudowano przedział ufności dla parametru μ postaci
1
2
4
⎣
m
−
1
2816
σ
,
m
+
1
2816
σ
⎦
,
n
n
Gdzie
{
}
m
=
med
X
1
,
X
2
,
X
3
,
X
4
,
X
5
. Wyznaczyć
c
=
P
⎝
m
−
1
2816
σ
<
μ
<
m
+
1
2816
σ
⎠
.
n
n
(A)
c
=
0
97500
(B)
c
=
0
95000
(C)
c
=
0
98288
(D)
c
=
0
89144
(E)
c
=
0
99982
4
,
X
jest średnią z obserwacji w
i
-tej próbce,
⎡
⎤
⎛
⎞
Prawdopodobieństwo i statystyka 8.01.2007 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Niech
X
K
1
,
2
,
,
X
10
będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego,
przy czym
EX
i
=
0
i
VarX
i
= , gdzie jest nieznanym parametrem.
σ
Rozważamy jednostajnie najmocniejszy test hipotezy
H
:
σ
≤
4
przy alternatywie
0
H
Niech
S
oznacza zbiór tych wartości wariancji , dla których moc tego testu jest nie
mniejsza niż 0,95. Wtedy
S
jest równy
:
σ
2
>
4
na poziomie istotności 0,05.
1
σ
(A)
(
20
,
353
;
+
∞
)
(B)
(
18
,
584
;
+
∞
)
(C)
(
17
,
307
;
+
∞
)
(D)
(
15
,
761
;
+
∞
)
(E)
(
15
,
051
;
+
∞
)
5
i
2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]