[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.10.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Macierz prawdopodobieństw przejścia w pojedynczym kroku dla łańcucha Markowa
o trzech stanach
0
,
X
1
,...
X
n
,...
{
2
3
jest postaci
⎡
1
1
1
⎤
⎢
⎥
3
3
3
⎢
⎥
1
1
⎢
0
⎥
2
2
⎢
⎥
⎢
1
2
⎥
0
⎢
3
3
⎥
(oczywiście, element stojący w -tym wierszu i
ij
p
i
j
-tej kolumnie tej macierzy
oznacza
P
(
X
n
+
1
=
j
|
X
n
=
i
)
).
Wtedy
lim
Cov
(
X
n
,
X
n
+
1
)
jest równa
n
→
+∞
(A) 2,125
(B) 0,125
(C) 0,375
(D) 1,875
(E) 0
1
X
⎣
⎦
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.10.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie jednostajnym na przedziale [1, 2]. Niech
N
będzie zmienną losowa o
rozkładzie ujemnym dwumianowym
X
1
,
X
2
,
K
,
,
X
n
K
P
( )
N
=
n
=
⎛
+
n
2
⎟
p
3
(
−
p
)
n
dla
n
=
0
2
K
,
n
⎝
⎠
niezależną od zmiennych losowych
X
1
,
2
X
,
K
,
,
X
n
K
.
Niech
M
=
⎧
max(
X
1
,
X
2
,
K
,
X
N
)
gdy
N
>
0
N
0
gdy
N
=
0
( )
N
Obliczyć
E
M
.
(A)
2
−
2
p
3
−
1
p
2
+
1
p
2
2
(B)
2
−
1
p
2
−
1
p
2
2
(C)
2
+
p
3
−
1
p
2
−
1
p
2
2
(D)
2
−
p
3
−
1
p
2
−
1
p
2
2
(E)
2
−
p
−
2
p
2
⎜
⎞
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.10.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Zakładamy, że
X
1
,
X
2
,
K
,
X
n
,
Y
,
Y
2
,
K
,
Y
są niezależnymi zmiennymi losowymi o
rozkładach normalnych, przy czym
E
X
E
=
Y
=
μ
,
Var
X
=
σ
,
Var σ
=
4
2
dla
i
i
i
1
K
= μ i σ są nieznane. Niech będzie estymatorem
największej wiarogodności parametru w tym modelu. Wyznaczyć stałą
a
, tak aby
2
,
n
. Parametry
ˆ
σ
2
σ
σ
a
= był estymatorem nieobciążonym parametru .
2
σ
ˆ
2
σ
A)
a
=
8
n
8
n
−
4
(B)
a
=
1
(C)
a
=
8
n
8
n
−
1
(D)
a
=
8
n
8
n
−
8
(E)
a
=
8
n
8
n
−
2
3
1
Y
i
~
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.10.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
W urnie znajduje się razem 76 kul: białych i czarnych. Wylosowano 10 kul, wśród
których było 6 kul białych. Wyznaczyć wartość estymatora największej
wiarogodności liczby kul białych w urnie.
(A) 43
(B) 44
(C) 45
(D) 46
(E) 47
4
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.10.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Niech
X
i
Y
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych,
przy czym
E =
X
4
i
E =
6
. Rozważamy zmienną losową
Z
= .
X
X
Y
Wtedy
(A)
E =
Z
0
4
(B) funkcja gęstości zmiennej losowej
Z
wyraża się wzorem
g
(
z
)
=
504
z
3
(
−
z
)
5
dla
z
∈
(
0
(C) mediana rozkładu zmiennej losowej
Z
jest równa 0,4
(D) funkcja gęstości zmiennej losowej
Z
wyraża się wzorem
g
(
z
)
=
140
z
3
(
−
z
)
3
dla
z
∈
(
0
(E) mediana rozkładu zmiennej losowej
Z
jest równa 0,5
5
Y
[ Pobierz całość w formacie PDF ]