[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Prawdopodobieństwo i statystyka 5.06.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Zmienna losowa
(
X
,
Y
,
Z
)
ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną
EX
=
EY
=
1
,
EZ
=
0
i macierzą kowariancji
⎡
4
1
2
⎤
⎢
⎥
⎢
1
1
1
⎥
.
⎢
2
1
4
⎥
⎣
⎦
Obliczyć
Var
− .
((
X
Y
)
Z
)
(A) 5
(B) 27
(C) 16
(D) 13
(E) 2
1
Prawdopodobieństwo i statystyka 5.06.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Zmienne losowe
X
1
,
X
2
,
K
,
,
X
n
K
są niezależne i mają rozkład dwupunktowy
( ) ( )
1
=
n
P
X
=
1
=
P
X
=
−
1
=
. Niech
S
=
X
. Oblicz
i
i
2
n
i
i
1
(
)
P
S
10
=
4
i
S
n
≤
6
dla
n
=
1
2
K
,
(A)
1024
120
(B)
1024
119
(C)
1024
118
(D)
1024
117
(E)
1024
116
2
Prawdopodobieństwo i statystyka 5.06.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Zmienne losowe
X
1
,
X
2
,
K
X
5
,
Y
1
,
Y
2
,
K
,
Y
4
są niezależne o tym samym rozkładzie z
gęstością
⎨
θ
gdy
x
>
0
f
(
x
)
=
(
+
x
)
θ
+
1
,
θ
⎩
0
gdy
x
≤
0
θ jest nieznanym parametrem. Wyznaczono estymatory największej
wiarogodności i parametru
0
θ
θ
X
K
1
,
2
,
,
X
5
i
estymator na podstawie próby
θ
Y
1
,
Y
2
,
K
,
Y
4
.
Wyznaczyć stałe
a
i
b,
tak aby
P
⎜
⎝
θ
ˆ
1
<
a
⎟
⎠
=
P
⎜
⎝
θ
ˆ
1
>
b
⎟
⎠
=
0
05
ˆ
ˆ
θ
θ
2
2
A)
a
=
b
0 =
193
,
6
256
(B)
a
=
0
299
,
b
=
3
347
(C)
a
=
b
0
160
,
=
5
192
(D)
a
=
0
299
,
b
=
3
072
(E)
a
=
0
326
,
b
=
3
347
3
,
⎧
gdzie
θ θ:
estymator na podstawie próby
⎛
⎞
⎛
⎞
Prawdopodobieństwo i statystyka 5.06.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
W każdej z trzech urn znajduje się 5 kul, przy czym w pierwszej urnie są 4 kule białe
i 1 czarna, w drugiej 3 kule białe i 2 czarne, w trzeciej 2 białe i 3 czarne.
Wykonujemy 3-etapowe doświadczenie:
1 etap
: losujemy urnę (wylosowanie każdej urny jest jednakowo prawdopodobne);
2 etap
: z wylosowanej urny ciągniemy 2 kule bez zwracania, a następnie dorzucamy
do tej urny 1 kulę białą i 1 czarną;
3 etap
: z tej samej urny ciągniemy 1 kulę.
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia w trzecim etapie kuli białej, jeśli w drugim etapie
wyciągnięto 2 kule białe jest równe
(A)
10
30
(B)
15
(C)
12
(D)
20
(E)
30
18
4
30
30
30
Prawdopodobieństwo i statystyka 5.06.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Niech
(
Y
)
będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
⎨
2
gdy
y
>
0
i
x
2
+
y
2
<
1
f
(
x
,
y
)
=
π
⎩
0
w
przeciwnym
przypadku.
X
Niech
Z
=
i
V
=
X
2
+
Y
2
. Wtedy
2
2
X
+
Y
(A) zmienne
X
i
Y
są niezależne
(B) funkcja gęstości rozkładu brzegowego zmiennej
V
wyraża się wzorem
dla
g
( =
v
2
v
v
∈
(
0
(C) funkcja gęstości rozkładu brzegowego zmiennej
V
wyraża się wzorem
dla
g
( =
v
1
v
∈
(
0
(D) zmienne
Z
i
V
są zależne
(E) funkcja gęstości rozkładu brzegowego zmiennej
Z
wyraża się wzorem
h
(
z
)
=
|
z
|
dla
z
∈
(−
1
2
2
1
−
z
5
X
⎧
[ Pobierz całość w formacie PDF ]