[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Zmienne losowe
X
K
,
2
,
,
X
5
są niezależne i mają jednakowy rozkład o gęstości
⎧
θ
e
−
θ
gdy
x
>
0
p
(
x
)
=
⎨
,
θ
0
gdy
x
≤
0
⎩
gdzie
θ jest ustaloną liczbą. Niech
Y
oznacza zmienną losowa równą 1, gdy
0
=
5
X
1
≥
3
, i równą 0 w pozostałych przypadkach. Niech
T
=
X
i
. Wyznaczyć
1
(
5
E
Y
| =
T
.
(A) 0,05120
(B) 0,00256
(C) 0,02560
(D) 0,10240
(E) 0,01024
1
1
i
Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Obserwujemy niezależne zmienne losowe
Zmienne losowe
mają ten sam rozkład o dystrybuancie , a zmienne losowe
maja ten sam rozkład o dystrybuancie
X
1
,
X
2
,
X
3
,
Y
1
,
Y
2
,
Y
,
Y
.
X
1
,
X
2
,
X
3
F
Y
,
Y
2
,
Y
3
,
Y
4
F
. Dystrybuanta spełnia warunek
F
xF
dla pewnej ustalonej, nieznanej, ciągłej, ściśle rosnącej dystrybuanty
F
.
Weryfikujemy hipotezę
μ
(
)
=
x
F
(
−
μ
)
H
0
: μ
2
przy alternatywie
H
1
: μ
μ >
1
2
stosując test o
K
,
gdzie
S
jest sumą rang zmiennych losowych w próbce złożonej ze
wszystkich obserwacji ustawionych w ciąg rosnący. Wyznaczyć rozmiar testu.
=
S
:{ >
S
13
}
X
1
,
X
2
,
X
3
(A)
35
11
(B)
35
12
(C)
35
10
(D)
35
9
(E)
35
8
2
3
4
1
μ =
1
obszarze krytycznym
Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Zmienna losowa
N
ma rozkład Poissona z nieznanym parametrem
λ . O
0
parametrze λ zakładamy, że podlega rozkładowi a priori gamma
Gamma
(
2
.
Zmienna losowa
θ ma rozkład beta
Beta
(
2
)
. Zmienne
N
i
θ są niezależne i
są niezależne. Obserwujemy zmienną losową
X
, która przy znanych
wartościach θ
λ
i
bin
. Wyznaczyć wartości
a
i
b
najlepszego liniowego predyktora zmiennej losowej
N
, to znaczy liczby
a
i
b
minimalizujące wielkość
N
i
ma rozkład dwumianowy
( θ
N
)
(
)
2
E
N
−
aX
−
b
.
A)
a
=
b
54
,
=
35
53
212
(B)
a
=
b
24
,
=
17
25
100
(C)
a
=
b
18
,
=
5
11
44
(D)
a
=
b
18
,
=
5
11
22
(E)
a
=
b
54
,
=
35
53
106
Uwaga.
Gęstość rozkładu gamma
Gamma
( β
α
)
jest równa
β
−
α
p
(
x
)
=
x
α
−
1
e
β
x
dla
x
>
0
.
α
,
β
Γ
(
α
)
Gęstość rozkładu beta
Beta
( β
α
)
jest równa
f
(
x
)
=
Γ
(
α
+
β
)
x
α
−
1
(
−
x
)
β
−
1
dla
x
∈
(
0
.
α
,
β
Γ
(
α
)
Γ
(
β
)
3
zmienne θ
Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Na podstawie prostej próby losowej
X
K
,
,
,
X
testowano hipotezę
H
:
σ
=
1
1
2
20
0
przy alternatywie , gdzie jest parametrem odpowiadającym za
wariancję zmiennej losowej za pomocą testu o obszarze krytycznym
H
:
σ
2
>
1
σ
1
X
i
=
=
⎧
20
⎫
K
X
2
>
t
.
i
i
1
Jeżeli dodatkowo wiadomo, że zmienne losowe mają rozkład zadany gęstością
X
i
f
(
x
)
=
θ
|
x
|
e
−
θ
x
2
, gdy
x
∈ ,
θ
gdzie
θ jest nieznanym parametrem, to przy poziomie istotności
0
α ,
0
05
wartość krytyczna
t
jest równa
(A) 55,7585
(B) 31,4104
(C) 18,3070
(D) 27,8793
(E) 15,7052
4
2
R
Prawdopodobieństwo i statystyka 20.03.2006 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Na podstawie prostej próby losowej
X
1
,
X
2
,
X
3
,
K
,
X
n
z rozkładu gamma o gęstości
⎧
θ
2
xe
−
θ
gdy
x
>
0
f
(
x
)
=
⎨
θ
0
gdy
x
≤
0
⎩
ˆ
estymujemy parametr θ wykorzystując estymator największej wiarogodności .
Wyznaczyć w przybliżeniu rozmiar próby
n
taki, że
P
⎜
⎝
|
θ
−
θ
θ
|
≤
0
05
⎟
⎠
≈
0
95
.
Posłużyć się aproksymacją rozkładem normalnym. Wybrać spośród podanych liczb
najbliższe przybliżenie.
(A) 400
(B) 800
(C) 1600
(D) 3200
(E) 2400
5
ˆ
⎛
⎞
[ Pobierz całość w formacie PDF ]