2005.05.16 pra, Studia, Semestr V, Egzaminy na AKTUARIUSZA, prawdopodobieństwo i statystyka, 16.05.2005

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Prawdopodobieństwo i statystyka 16.05.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Niech ( będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym
samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością
YX
K
1
,
1
),
(
X
2
,
Y
2
),
,
(
X
n
,
Y
n
)
1
oczekiwaną
EX
=
EY
=
m
, wariancją
VarX
=
VarY
=
1
i współczynnikiem
i
i
i
4
i
1
korelacji
Corr
,( =
i
X
Y
)
. Osobno na podstawie prób losowych
X
,
X
,
K
,
X
i
i
2
1
2
n
zbudowano dwa przedziały ufności dla wartości oczekiwanej
m
, każdy
na poziomie ufności 0,8. Oblicz prawdopodobieństwo, że tak zbudowane przedziały
okażą się rozłączne.
1
,
Y
,
K
,
Y
n
(A) 0,15
(B) 0,05
(C) 0,03
(D) 0,12
(E) 0,08
1
Y
2
Prawdopodobieństwo i statystyka 16.05.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Zakładamy, że zależność czynnika
Y
od czynnika
x
(nielosowego) opisuje model
regresji liniowej
Y
i
=
β +
0
+
1
x
ε
i
i
. Obserwujemy 20 elementową próbkę, w której
. Zmienne losowe
Y
są
niezależne i błędy mają rozkłady normalne o wartości oczekiwanej 0, przy czym
, gdy
=
2
=
=
x
10
=
1
x
11
=
x
12
=
K
=
x
20
=
3
1
,
Y
2
,
K
,
Y
Var
ε =
i
σ
i
=
1
K
2
,
10
, i
Var
ε =
i
4σ
2
, gdy
i
=
11
K
12
,
,
20
. Wyznaczono
estymatory
ˆ
β
0
i parametrów
ˆ
β
β
i
β
wykorzystując metodę najmniejszych
∑
=
20
(
− β
)
2
kwadratów, czyli minimalizując wielkość
Y
0
−
β
1
i
. Wyznacz stałe i
z
0
1
β
P
. Spośród podanych
odpowiedzi wybierz odpowiedź będącą najlepszym przybliżeniem.
tak, aby
P
|
β
z
ˆ
0
− σ
0
|
0
)
95
=
0
i
( )
95
|
1
−
1
β
z
σ
=
0
(A)
z
0
=
0
98
i
z
1
=
0
69
(B)
z
0
=
0
93
i
z
1
=
0
69
(C)
z
0
=
0
93
i
z
1
=
0
54
(D)
z
0
=
1
18
i
z
1
=
0
69
(E)
z
0
=
1
18
i
z
1
=
0
54
2
xx
K
i
1
,
i
z
(
1
Prawdopodobieństwo i statystyka 16.05.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Niech
(
Y
)
będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
f
(
x
,
y
)
=

6
x
gdy
x
>
0
i
y
>
0
i
x
+
y
<
1
0
w
przeciwnym
przypadku.
Niech
S
+
=
Y
i
V
=
Y
−
X
. Wyznacz
Var

V
|
S
=
1

2
(A)
1
18
(B)
1
24
(C)
1
48
(D)
1
12
(E)
1
16
3
X


Prawdopodobieństwo i statystyka 16.05.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Niech
A
,
B
,
C
będą zdarzeniami losowymi spełniającymi warunki
0
( >
−
B
i
P
( >
B
−
C
0
i
P
( >
∩
C
0
i
P
(
A
|
C
−
B
)
>
P
(
A
|
B
)
. Wtedy
(A)
P
(
A
|
B
∪
C
)
<
P
(
A
|
C
)
(B)
P
(
A
|
B
∩
C
)
<
P
(
A
|
B
)
(C)
P
(
A
B
−
C
)
>
P
(
A
|
C
−
B
)
(D)
P
(
A
|
B
∪
C
)
>
P
(
A
|
B
)
(E) żadna z podanych wyżej nierówności nie jest prawdziwa
4
P
C
B
|
Prawdopodobieństwo i statystyka 16.05.2005 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Obserwujemy niezależnych zmiennych losowych
n
X
1
,
X
2
,
K
,
X
n
o tym samym

2
x
gdy
x
∈
(
0
θ
)
rozkładzie o gęstości
f
(
x
)
=
θ
2
θ

0
w
przeciwnym
przypadku,
θ jest nieznanym parametrem. Rozważmy test jednostajnie najmocniejszy
dla weryfikacji hipotezy
0
H
na poziomie istotności
0,1. Jak najmniej liczną próbą należy dysponować, aby moc otrzymanego testu przy
H
0
:
θ
1
przy alternatywie
1
:
1
3
alternatywie
1
=θ była nie mniejsza niż 0,9.
2
(A)
n
≥
10
(B)
n
=
8
(C)
n
=
6
(D)
n
=
4
(E)
n
=
3
5

gdzie
[ Pobierz całość w formacie PDF ]