[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Obserwujemy działanie pewnego urządzenia w kolejnych chwilach
.. Działanie tego urządzenia zależy od pracy dwóch podzespołów A i B.
Każdy z nich może ulec awarii w jednostce czasu z prawdopodobieństwem 0,1
niezależnie od drugiego. Jeżeli jeden z podzespołów ulega awarii, to urządzenie nie
jest naprawiane i działa dalej wykorzystując drugi podzespół. Jeżeli oba podzespoły
sÄ… niesprawne w chwili
t
, to następuje ich naprawa i w chwili
t
+1 oba sÄ… sprawne.
Prawdopodobieństwo, że podzespół B jest sprawny w chwili t dąży, przy
t
dążącym
do nieskończoności, do następującej liczby (z dokładnością do 0,001):
=
0
2
(A) 0,635
(B) 0,655
(C) 0,345
(D) 0,474
(E) 0,602.
1
K
t
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi o
jednakowym rozkładzie wykładniczym o gęstości
X
1
,
2
X
,
K
,
X
n
,...

α
e
−
α
gdy
x
>
0
f
(
x
)
=
0
gdy
x
≤
0

α jest ustalonym parametrem.
Niech
N
będzie zmienną losową, niezależną od
X
1
,
2
,....,
X
n
,...
, o rozkładzie
ujemnym dwumianowym
P
(
N
=
n
)
=

−
n
+
r
1

p
r
( −
p
)
n
dla
=
n
, gdzie
0
,
2
,......
n
ï£

r
>0 i
p
∈
(
0
sÄ… ustalonymi parametrami. Niech
Z
=

min(
X
1
,
X
2
,
K
,
X
N
)
gdy
N
>
0
N
0
gdy
N
=
0
Oblicz
E
(
NZ
N
)
i
Var
.
(
NZ
N
)
(A)
NZE
i
( =
1
Var
(
NZ
)
=
1
N
α
N
α
2
=
1
−
p
r
1
−
p
r
(B)
E
(
NZ
)
i
Var
(
NZ
)
=
N
α
N
α
2
=
1
−
p
r
1
−
p
2
r
(C)
E
(
NZ
)
i
Var
(
NZ
)
=
N
α
N
α
2
(D)
E
(
NZ
)
=
r
(
−
p
)
i
Var
(
NZ
N
)
=
r
(
−
p
)
N
p
p
2
α
2
=
1
−
p
r
1
−
p
2
r
(E)
E
(
NZ
)
i
Var
(
NZ
)
=
.
N
α
N
α
2
gdzie 0
X


Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Niech będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
(
Y
)

e
−
x
gdy
x
>
0
i
y
∈
(
0
f
(
x
,
y
)
=

0
w
przeciwnym
przypadku.

Niech
Y
Z
2
=
+
. Wtedy łączny rozkład zmiennych
Z, X
jest taki, że
(A) zmienne
Z
i
X
są niezależne;
(B) jego funkcja gęstości na zbiorze {(
xz
wyraża się wzorem
,
)
:
0
<
z
x
<
2
g
(
z
,
x
)
=
1
e
−
x
;
4
(C)
E
|( =
Z
X
2 =
4
;
(D) jego funkcja gęstości na zbiorze {(
z
,
x
)
:
0
<
x
<
z
<
2
+
x
}
wyraża się wzorem
g
(
z
,
x
)
=
1
e
−
x
;
2
(E) jego funkcja gęstości na zbiorze {(
z
,
x
)
:
0
<
x
<
z
<
1
+
x
}
wyraża się wzorem
g
(
z
,
x
)
=
e
−
x
.
3
X
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Dysponujemy (
N
+
N
>1) identycznymi urnami. Każda z nich zawiera
kul białych i czarnych. Liczba kul białych w
1
N
i
tej urnie jest równa , gdzie
i
−
1
i
=
1 +
2
,....,
N
1
Losujemy urnę, a następnie ciągniemy z niej jedną kulę i okazuje się, że otrzymana
kula jest biała. Oblicz prawdopodobieństwo, że ciągnąc drugą kulę z tej samej urny
(bez zwracania pierwszej) również otrzymamy kulę białą.
(A)
N
1
+
2
N
1
(B)
N
2 +
N
1
(C)
N
−
1
N
+
1
(D)
2
3
(E)
1
.
Wskazówka:
1
â‹…
2
+
2
â‹…
3
+
3
â‹…
4
+
K
+
(
N
−
1
N
=
(
N
−
1
N
(
N
+
1
.
3
4
−
2
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Niech
XX
,
1
,
2
,
K
X
n
będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu
Weibulla o gęstości

2
x
2

x
exp(
−
)
gdy
x
>
0
f
θ
(
x
)
=
θ
θ

0
gdy
x
≤
0
θ jest nieznanym parametrem. Rozważamy nieobciążony estymator
parametru θ postaci
T
n
=
aY
, gdzie
Y
=
min(
X
2
1
,
X
2
2
,
K
,
X
2
)
i
a
jest odpowiednio
n
dobraną stałą (być może zależną od liczebności próby
n
).
Badając zgodność estymatora
T
otrzymujemy
n
(A)
∀
θ
>
0
∀
ε
>
0
lim
P
θ
{|
T
n
−
θ
>
ε
}
=
0
;
n
→
∞
(B)
∀
θ
>
0
∀
0
<
ε lim
<
P
{|
T
−
θ
|
>
ε
}
=
1
−
exp(
−
1

ï£
exp
ï£
ε

−
exp

−
ε



;
θ
n
θ
θ
n
→
∞
(C)
∀
θ
>
0
∀
ε
>
0
n
lim
P
θ
{|
T
−
θ
>
ε
}
=
1
−
exp(
−
1

ï£
exp
ï£
ε

−
exp

−
ε



;
n
θ
θ
→
∞
(D)
∀
θ
>
0
∀
0
<
ε lim
<
P
{|
T
−
θ
|
>
ε
}
=
exp
ï£
−
1
−
ε

;
θ
θ
n
→
∞
(E)
∀
θ
>
0
∀
ε
>
0
lim
P
θ
{|
T
.
−
θ
>
ε
}
=
1
n
→
∞
5
gdzie 0
|




ï£

|




ï£



|
[ Pobierz całość w formacie PDF ]