2004.06.07 pra, Studia, Semestr V, Egzaminy na AKTUARIUSZA, prawdopodobieństwo i statystyka, 7.06.2004

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
ji
.
Mówimy, że klocek
B(k,l)
możemy dołożyć do klocka
A(i,j)
, jeżeli
k=i
lub
k=j
lub
l=
i
lub
l=
j. Dwa klocki pasujące układamy tak, aby jednakowe liczby były obok siebie,
na przykład:
A(1,2)B(2,0)
. Następny klocek możemy dołożyć do otrzymanego ciągu,
jeżeli jest na nim liczba równa jednej ze skrajnych liczb otrzymanego ciągu (w
przykładzie liczba 1 lub 0).
Losujemy kolejno trzy klocki
K
,
L
,
M
bez zwracania. Obliczyć prawdopodobieństwo,
że klocek
M
możemy dołożyć do ciągu utworzonego z klocków
K
i
L
, jeżeli
wiadomo, że klocki
K
i
L
pasują do siebie.
(
,
),
i
,
j
=
0
2
K
,
(A)
41
(B)
1
(C)
6
13
(D)
11
(E) żadna z powyższych odpowiedzi.
1
Zadanie 1.
Komplet klocków
Domino
składa się z 28 klocków, każdy klocek odpowiada
nieuporządkowanej parze liczb
91
2
26
Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech
Z
1
,
2
Z
,
K
,
Z
n
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Pareto o
gęstości

λ
θ

dla
x
>
0
p
(
x
)
=
(
x
+
λ
)
θ
+
1
λ
,

0
dla
x
≤
0
gdzie
θ
> λ
1 >
0
są ustalonymi liczbami.
Wyznaczyć
E
(
Z
1
+
Z
2
+
K
+
Z
n
|
min(
Z
1
,
Z
2
,
K
,
Z
n
)
=
t
)
, gdzie
t
jest ustaloną liczbą
większą od 0.
(A)
nt
+
θ
λ
t
+
−
1
(B)
nt
+
(
n
−
1
)(
λ
+
t
)
n
(
θ
−
1
(C)
nt
+
(
n
−
1
λ
t
+
θ
−
1
(D)
n

t
+
λ
t
+

θ
−
1
(E)
nt
+
(
n
−
1
λ
.
θ
−
1
2


Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Zmienna losowa
(
X
,
Y
,
Z
)
ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną (0,0,0) i
macierzą kowariancji

4
1
1




1
1
0

.

1
0
1



Obliczyć
Var
((
X
+ .
Y
)
Z
)
(A) 12,5
(B) 9,5
(C) 11
(D) 10,25
(E) 8,75
3
Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Niech
X
=
(
X
1
,
X
2
,
K
będzie zmienną losową o rozkładzie wielomianowym
, gdzie wektor
X
k
)
Mult
(
n
,
p
1
,
p
2
,
K
,
p
k
)
p
=
(
p
1
,
p
2
,
K
,
p
k
)
(
p
i
≥
0
dla
i
=
1
K
,
k
k
oraz
=
p
=
1
) jest wektorem nieznanych parametrów. Rozważamy problem estymacji
i
i
1
wektora
p
przy kwadratowej funkcji straty
pL
=
(
,
p
)
1
=
k
(
p
−
ˆ
i
)
2
.
k
i
i
1
Wśród estymatorów wektora
p
postaci
p
=
(
aX
1
+
b
,
aX
2
+
b
,
K
,
aX
k
+
b
)
(gdzie
a, b
są liczbami rzeczywistymi) o ryzyku (to znaczy
EL
(
p
p
ˆ
)
) stałym, niezależnym od
p
,
najmniejsze ryzyko ma estymator, dla którego
(A)
a
=
1
,
b
=
−
1
n
−
n
k
(
n
−
1
(B)
a
=
1
,
b
=
−
1
n
−
n
2
n
−
1
(C)
a
=
1
,
b
=
1
n
+
n
2
n
+
1
(D)
a
=
1
,
b
=
1
n
+
n
k
(
n
+
1
(E)
żadna z powyższych odpowiedzi nie jest poprawna
4
,
2
ˆ
p
ˆ
Prawdopodobieństwo i statystyka 7.06.2004 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Niech
X
1
,
2
X
,
K
,
X
n
będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

θ
dla
x
>
1
f
(
x
)
=
+
x
θ
1
θ

0
dla
x
≤
1
gdzie
θ jest nieznanym parametrem. Budujemy przedział ufności dla parametru θ
0
postaci

d
θ
ˆ
,
c
θ
ˆ

na poziomie ufności α
1
−
, gdzie liczby
c
i
d
są dobrane tak, aby
n
n
P

θ
<
d
θ

=
P

θ
c
θ

=
α
θ
n
θ
n
2
θ
ˆ
i jest estymatorem największej wiarogodności parametru
θ.
Przy
n
= i
20
α przedział ufności ma postać:
0
05
(A)
[
0
663
θ
ˆ
ˆ
1
394
(B)
[
0
812
θ
ˆ
ˆ
1
242
(C)
[
0
611
θ
ˆ
ˆ
,
1
484
(D)
[
0
480
θ
ˆ
ˆ
,
1
709
(E)
[
0
325
θ
ˆ
ˆ
2
048
5


ˆ
>
ˆ
[ Pobierz całość w formacie PDF ]