[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.12.2003r
.
Zadanie 1.
Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch
kolejnych
rzutach
pojawią się ,,reszki’’. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(E) 6
−
n
był orzeł, to „układ jest w
stanie 1”. Kończymy, gdy „układ znajdzie się w stanie 2”. W ten sposób definiujemy
łańcuch Markowa. Rozpatrz wartość oczekiwaną liczby rzutów w zależności od stanu
układu.
n
1
1
Wskazówka:
jeśli w rzucie numer
n
jest orzeł to przyjmijmy, że „układ jest w stanie
0”. Jeśli w rzucie numer jest reszka a w rzucie
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.12.2003r
.
W
µ. Niech będzie zmienną
losową o rozkładzie Poissona wartością oczekiwaną
0
,
1
,...,
W
n
,...
o jednakowym
rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną
N
λ, niezależną od
Oblicz dystrybuantę rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej
W
0
,
W
,...,
W
n
,...
losowej
Y
=
min
{
W
0
,
W
1
,...,
W
N
}
.
(A)
Pr(
Y
≤
y
)
=
1
−
exp
λ
( )
e
−
y
/
µ
−
1
−
y
µ
(B)
Pr(
Y
≤
y
)
=
1
−
exp
(
[ ]
e
− µ
y
/
−
1
(C)
Pr(
Y
≤
y
)
=
1
−
exp
[
µ
λ
y
(D)
Pr(
Y
≤
y
)
=
1
−
exp
[ ]
y
(
µλ
)
(E)
Pr(
Y
≤ 1
y
)
−
λ
+
λ
y
µ
2
Zadanie 2.
Rozważmy niezależne zmienne losowe
W
1
[
λ
−
−
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.12.2003r
.
Zadanie 3.
Rozpatrzmy standardowy model jednokierunkowej analizy wariancji.
Niech
X
ij
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych
, przy czym
(
i
=
1
,...,
k
;
j
=
1
,...
n
)
XE
µ
[
]
=
i
Var
[ σ
X
=
2
. Przyjmijmy typowe
i
ij
i
ij
oznaczenia:
∑
SSW
=
∑
k
n
(
X
−
X
)
2
,
∑
SST
=
∑
k
n
(
X
−
X
)
2
,
ij
i
ij
i
=
1
j
=
1
i
=
1
j
=
1
gdzie
∑
=
1
n
,
∑
1
∑
k
n
∑
=
k
X
=
X
X
=
X
,
n
=
n
.
i
n
ij
n
ij
i
i
j
1
=
1
j
=
1
i
1
Przy założeniu, że hipoteza o jednorodności jest prawdziwa, czyli że
µ =
= ...
µ
,
oblicz
E
SSW
.
SST
∑
k
i
n
2
(A)
=
1
i
k
+
∑
k
i
n
2
=
1
i
∑
=
k
i
n
2
(B)
1
i
n
2
(C)
n
−
n
k
−
1
−
1
(D)
n
−
k
n
−
1
(E)
n
−
k
n
3
i
1
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.12.2003r
.
Zadanie 4.
Niech
W
1
,
2
n
µ. Rozważmy estymatory parametru µ postaci
W
n
(
>
1
) będzie próbką z rozkładu wykładniczego o
wartości oczekiwanej
∑
=
n
ˆ
aS
, gdzie
S
=
W
.
i
1
Znajdź liczbę
a
, dla której błąd średniokwadratowy estymatora, czyli wielkość
E
ˆ
( µ
µ−
)
2
jest najmniejszy.
(A)
a
=
n
(B)
a
=
n
1
−
1
(C)
a
=
n
1
+
1
(D)
a
=
1
n
+
n
(E) nie istnieje liczba dla której błąd średniokwadratowy odpowiadającego jej
estymatora jest jednostajnie najmniejszy (najmniejszy przy każdej wartości
a
µ)
4
W
,...,
Prawdopodobieństwo i statystyka 6.12.2003r
.
Zadanie 5.
Załóżmy, że są niezależnymi zmiennymi losowymi o
jednakowym rozkładzie jednostajnym na przedziale [
U
1
,
2
U
,...,
U
n
,...
0
. żmy ciąg średnich
geometrycznych
n
U
2
1
... . Wybierz prawdziwe stwierdzenie.
U
n
(A)
lim
Pr
n
U
U
...
U
≤
1
=
0
n
→
∞
1
2
n
2
(B)
lim
Pr
n
U
U
...
U
≤
1
=
0
n
→
∞
1
2
n
3
(C)
lim
Pr
n
U
U
...
U
≤
1
=
1
1
2
n
2
2
n
→
∞
(D)
lim
Pr
n
U
U
...
U
≤
1
=
1
1
2
n
e
→
∞
(E)
lim
Pr
n
U
U
...
U
≤
1
=
1
1
2
n
3
n
→
∞
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]