[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2003r
.
Zadanie 1
W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w
eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:
• Zwycięzca eliminacji, nazywany graczem nr. 1 otrzymuje 10 losów,
• Osoba, która zajęła drugie miejsce w eliminacjach, nazywana graczem nr. 2,
otrzymuje 9 losów,
• Osoba, która zajęła trzecie miejsce w eliminacjach, nazywana graczem nr. 3,
otrzymuje 8 losów,
• ..........................................................................................
• Osoba, która zajęła dziesiąte miejsce w eliminacjach, nazywana graczem nr.
10, otrzymuje 1 los.
Jeden
spośród 55 losów przynosi wygraną. Oblicz
wartość oczekiwaną numeru
gracza, który posiada wygrywający los.
(A) 4
(B) 3
(C)
10
(D) 5
(E) 6
1
3
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2003r
.
Zadanie 2
Niech zmienna losowa będzie liczbą sukcesów w próbach Bernoulliego z
prawdopodobieństwem sukcesu
S
n
n
p
. O zdarzeniu losowym wiemy, że
A
Pr(
A
|
S
= )
k
=
a
k
dla
k
0= ,
,...,
n
n
n
gdzie
a
jest znanÄ… liczbÄ…,
0 ≤
<
a
1
. Oblicz
E
(
S
n
|
A
)
.
(A)
pn
−
+1
p
(B)
ap
( +
n
1
(C)
p
( +
n
1
(D)
pn
+
1
(E)
apn
+
1
2
 Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2003r
.
Zadanie 3
Rozważmy próbkę
X
,...,
1
X
n
z rozkładu jednostajnego na odcinku [
0 θ
(z
]
M
= . Należy zbudować
przedział ufności
dla θ na poziomie
90%. Chcemy, żeby ten przedział był
postaci [
max(
X
1
,...,
X
n
)
aM
,
bM
]
, gdzie liczby i są tak dobrane, żeby
a b
Pr(
θ
<
aM
θ
=
Pr(
>
bM
)
=
0
05
.
Podaj długość tego przedziału.
(A)
(
n
0 −
95
n
0
05
)
M
(B)

n
20
−
1

M
ï£

(C)

n
20
−
n
20


M
19
ï£
(D)
( )
M
n
19
(E)

n
20
−
n
20

θ
19
ï£

3
nieznanym prawym końcem θ). Niech
)





Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2003r
.
Zadanie 4
Rozważmy sumę losowej liczby zmiennych losowych:
∑
=
N
S
=
S
=
X
.
N
i
1
Przyjmijmy typowe dla kolektywnego modelu ryzyka założenia: składniki
mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa, są niezależne od siebie nawzajem
i od zmiennej losowej . Przyjmijmy oznaczenia:
i
X
i
N
E
(
X
)
=
µ
,
Var
(
X
)
=
σ
2
,
E
(
N
)
=
m
,
Var
(
N
)
=
d
2
.
i
i
a
+ , która najlepiej przybliża
zmienną losową w sensie średniokwadratowym:
a
*
,
b
*
funkcji liniowej
*
b
*
N
{
E
(
a
S
+
b
−
N
)
2
} {
=
min
E
(
aS
+
b
−
N
)
2
}
*
*
a
,
b
(A)
a
*
=
1
,
b
*
=
0
µ
µ
d
+
2
m
2
σ
m
2
(B)
a
=
,
b
=
*
µ
2
d
2
m
σ
2
*
µ
2
d
2
+
σ
2
µ
2
d
+
2
m
σ
m
2
(C)
a
=
,
b
=
*
µ
2
d
2
m
σ
2
*
µ
2
d
2
+
σ
2
md
2
µ
2
σ
2
(D)
a
=
,
b
=
*
µ
m
2
d
2
+
σ
2
*
µ
2
d
2
+
m
σ
2
md
2
µ
2
σ
2
(E)
a
=
,
b
=
*
m
2
d
2
+
µσ
2
*
m
2
d
2
+
µσ
2
Wskazówka:
Oblicz
Cov
(
S
N
)
i
Var
(
S
)
.
4
Podaj współczynniki
Prawdopodobieństwo i statystyka 11.10.2003r
.
Zadanie 5
Niech
X
1
,...,
X
16
będzie próbką z rozkładu jednostajnego o gęstości danej wzorem:
f
(
x
)
=

1
/
θ
dla
0
≤
x
≤
θ
;
θ
0
w
przeciwnym
przypadku
.
Zmienne losowe
X
1
,...,
X
16
nie są w pełni obserwowalne. Obserwujemy zmienne
losowe
Y
=
min(
X
i
,
10
)
. Oblicz estymator największej wiarogodności parametru
θ
ˆ
θ na podstawie następującej próbki:
(
Y
1
,...,
Y
16
)
=
(
4
8
10
,
5
10
,
9
7
5
8
10
,
6
10
,
3
10
,
6
10
(A)
θ
ˆ
13.333
(B)
θ
ˆ
16
(C)
θ
ˆ
10
(D)
ˆ
θ
20
(E) nie można zastosować metody największej wiarogodności do tych danych
Wskazówka:
Zauważ, że w próbce jest 10 obserwacji mniejszych od 10 oraz 6
obserwacji o wartości równej 10.
5
)
[ Pobierz całość w formacie PDF ]