[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.05.2003r
.
Zadanie 1
Rozważmy następujący model strzelania do tarczy. Współrzędne punktu trafienia
są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowy
m rozkład
zie normalnym
)
N
( σ
2
)
. Punkt
(
0
uznajemy za środek tarczy, zatem
X
+
2
Y
2
jest odległością
od środka. Oddano
n
niezależnych strzałów
(
X
1
Y
1
),...,
(
X
n
Y
,
n
)
. Oblicz wartość
oczekiwaną odległości od środka najlepszego ze strzałów, czyli
E
min
(
X
2
1
+
Y
2
,...,
X
2
+
Y
2
)
.
1
n
n
(A)
πσ
2
n
πσ
2
1
(B)
â‹…
2
n
πσ
2
(C)
2
n
(D)
σ
n
πσ
2
(E)
n
Wskazówka:
Zmienna losowa
(
min
X
2
1
+
Y
2
,...,
X
2
+
Y
2
)
ma rozkład wykładniczy.
1
n
n
Można skorzystać z faktu, że
Γ
( )
/3 =
1
Ï€
.
2
1
(
Y
X
,
2
2
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.05.2003r
.
Zadanie 2
W urnie znajduje sie 10 kul Amarantowych, 10 kul Białych i 10 kul Czarnych.
Losujemy bez zwracania 12 kul. Niech
A
•
B
oznacza liczbę wylosowanych kul Białych,
• oznacza liczbę wylosowanych kul Czarnych.
C
Oblicz współczynnik korelacji zmiennych losowych i
A B
,
corr
(
B
A
)
(A)
2
1
(B)
−
(C)
1
−
30
(D)
30
24
(E)
2
−
Wskazówka: Var
(
A
+
C
)
=
0
.
2
• oznacza liczbę wylosowanych kul Amarantowych,
2
30
B
Prawdopodobieństwo i statystyka 17.05.2003r
.
Zadanie 3
Wykonujemy 4 rzuty kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczby oczek
otrzymane w kolejnych rzutach tworzÄ… ciÄ…g
ściśle rosnący
.
(A)
4
(B)
6
2
(C)
1
4
â‹…
4
6


6
(D)
4
6
4
(E)
4
6
3
6

ï£

Prawdopodobieństwo i statystyka 17.05.2003r
.
Zadanie 4
Dysponujemy danymi o liczbie szkód zgłoszonych przez klientów 1 w ciągu
lat. Niech
oznacza sumaryczną liczbę szkód dla klienta numer w ciągu lat.
Wiemy, że są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie Poissona. Mamy
też pewne przypuszczenia dotyczące intensywności pojawiania się szkód, czyli
wartości oczekiwanych tych zmiennych, ale nie jesteśmy ich pewni.
,
2
,...,
k
n
S
i
(
n
)
i
n
S
1
n
),...,
n
S
k
(
)
Weryfikujemy hipotezÄ™ statystycznÄ…
0
H
dla każdego
i
,...,
=
1
k
, zmienna losowa
S
i
(
n
)
ma rozkład Poissona z
parametrem
n
λ .
i
Hipotetyczne intensywności
λ,...,
1
λ
sÄ… danymi, ustalonymi liczbami dodatnimi.
Używamy pewnej odmiany testu chi-kwadrat: obliczamy statystykę
k
(
S
(
n
)
−
n
λ
)
2
χ
2
=
∑
=
i
i
.
n
λ
i
1
i
Jaki jest rozkład graniczny tej statystyki , jeśli jest prawdziwa i
χ
H
0
n
→
∞
?
(A) rozkład z
χ 1
k
−
stopniami swobody
(B) rozkład z stopniami swobody
χ
k
(C) pewien rozkład prawdopodobieństwa mający gęstość, nie należący do rodziny
rozkładów .
χ
(D) zdegenerowany rozkład prawdopodobieństwa, skupiony w punkcie 0
(E) rozkład z stopniami swobody
χ
n
4
:
 Prawdopodobieństwo i statystyka 17.05.2003r
.
Zadanie 5
Rozważamy model
K
obiektów obserwowanych przez
T
okresów czasu, gdzie
zarówno
K
jak i
T
są dużymi liczbami. Przyjmujemy następujące założenia:
• dla każdego
k
=
1
2
,...,
K
oraz
t
=
1
2
,...,
T
warunkowy rozkład zmiennej losowej
X
t
k
przy danej wartości zmiennej
µ jest rozkładem normalnym o wartości
oczekiwanej i wariancji
( )
µ
k
,σ
2
;
• dla każdego
= rozkład zmiennej losowej µ jest rozkładem
normalnym o wartości oczekiwanej i wariancji
( )
k
1
2
,...,
K
,
a
µ .
Przyjmijmy typowe oznaczenia dla średnich obiektowych i średniej ogólnej:
∑
=
2
X
=
1
T
X
,
k
=
1
2
,...,
K
,
oraz
X
=
1
∑
=
T
X
.
k
T
t
,
k
K
k
t
1
t
1
Międzyobiektową i wewnątrzobiektową sumę kwadratów odchyleń oznaczmy:
∑
=
K
( )
2
∑
==
T
K
( )
2
SSB
=
X
k
X
−
,
SSW
=
X
−
X
t
k
k
k
1
t
11
k
Wiadomo, że zmienne losowe
SSB SSW
i
są niezależne,
{}( )

σ
2

,
{ } ( )
2
E
SSB
=
K
−
1

ï£
a
2
+


E
SSW
=
T
K
−
1 σ
T
Dobierz stałą
const
tak, aby wartość oczekiwana wyrażenia:
SSW
σ
+
2
const
â‹…
wyniosła
.
SSB
a
2
T
σ
2
(A)
const
=
K
−
3
−
(
1
TK
T
(B)
const
=
K
−
2
−
(
1
TK
T
(C)
const
=
K
−
1
−
(
1
TK
T
(D)
const
=
K
−
2
( )(
1
T
K
+
1
T
−
(E)
const
=
K
−
1
( )(
1
T
K
+
1
T
−
1 . Wynik ten prowadzi do wniosku,
że na zwiększenie precyzji predykcji µ na drodze uwzględnienia danych o
pozostałych grupach (
collateral data
) możemy liczyć dopiero wtedy, gdy liczba grup
K
wyniesie co najmniej 4.
−
z
5
,
,
Uwaga (dopisana po egzaminie):
Wynik stanowi podstawę konstrukcji nieobciążonego estymatora współczynnika
credibility z
, a dokładniej jego dopełnienia
( )
Â
[ Pobierz całość w formacie PDF ]