2003.01.25 pra, Studia, Semestr V, Egzaminy na AKTUARIUSZA, prawdopodobieństwo i statystyka, 25.01.2003

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Prawdopodobieństwo i statystyka 25.01.2003 r
.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
W urnie znajduje się kul, z których 15 jest białych i 10
czarnych. Losujemy
bez zwracania
kolejno po jednej kuli. Kończymy losowanie
w momencie, kiedy wyciągnięte zostaną wszystkie
czarne
kule.
25
Oblicz
wartość oczekiwaną
liczby pozostałych w urnie białych kul.
(A)
10
(B)
11
(C) 5
(D)
25
(E)
11
1
15
15
15
16
Prawdopodobieństwo i statystyka 25.01.2003 r
.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Wektor losowy
(
X
,
Y
)
ma łączną gęstość prawdopodobieństwa
f
(
x
,
y
)
=

2
gdy
x
≥
0
y
≥
0
i
x
+
y
≤
1
0
w
przeciwnym
przypadku
.
Podaj gęstość
g
(
z
)
rozkładu zmiennej losowej
Z
=
X
X
+
Y
.
(A)
g
( =
z
2
z
dla 0
≤
z
≤
1
(B)
g
( =
z
1
dla 0
≤
z
≤
1
(C)
g
(
z
)
=
2
−
z
)
dla 0
≤
z
≤
1
(D)
g
(
z
)
=
6
z
(
−
z
)
dla 0
≤
z
≤
1
(E)
g
(
z
)
=
π
1
dla 0
≤
z
≤
1
z
(
−
z
)
2
Prawdopodobieństwo i statystyka 25.01.2003 r
.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Załóżmy, że są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym,
ciągłym rozkładzie prawdopodobieństwa, mającymi momenty rzędu 1, 2 i 3. Znamy
X
,...,
1
X
n
µ
E
(
i
X
)
i
σ
2
=
Var
(
X
)
.
i
Niech oznacza gęstość rozkładu pojedynczej zmiennej . Wiemy, że rozkład jest
symetryczny w tym sensie, że
f
(
x
)
X
i
f
(
µ
=+ µ
x
)
f
(
−
x
)
dla każdego .
x
Oblicz trzeci moment sumy:
( )
E
S
3
n
, gdzie
S
n
= ...
X
1
+
X
n
.
(A)
( )
E
n
3
=
n
n
2
µ +
(
2
2
3
σ
2
)
(B)
E
n
( )
3
=
n
n
µ +
(
2
2
3
σ
2
)
(C)
E
n
( )
3
=
n
n
2
µ +
(
2
3
σ
2
)
(D)
( )
E
S
3
=
n
n
2
µ +
(
2
2
σ
2
)
n
(E) Podane informacje nie wystarczają do obliczenia
( )
E
S
3
n
3
Prawdopodobieństwo i statystyka 25.01.2003 r
.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Załóżmy, że zmienne losowe
X
1
,...,
X
10
są niezależne i mają rozkłady normalne.
Zmienna ma rozkład
X
N

1
µ , innymi słowy

E
(
X
)
=
µ
,
Var
( =
1
dla
i
=
,...,
10
.
i
i
i
i
µ (jednakowa dla wszystkich zmiennych) jest nieznana. Należy
zbudować przedział ufności dla µ na poziomie 1
−α . Przedział ma być postaci
=
0
95
[
d
−
]
µ ˆ
,
d
, gdzie ˆ jest
estymatorem największej wiarogodności
parametru µ.
Podaj liczbę taką, że
d
Pr
(
µ
−
d
µ
≤
µ
≤
ˆ
+
d
)
95
=
0
.
(A)
d
=
2
6429
(B)
d
=
0
3920
(C)
d
=
0
1960
(D)
d
=
0
3354
(E)
d
=
0
2643
4
X
i
1


Wartość oczekiwana
ˆ
ˆ
Prawdopodobieństwo i statystyka 25.01.2003 r
.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Załóżmy, że . jest ciągiem niezależnych zmiennych
losowych o jednakowym rozkładzie wykładniczym o gęstości
X
1
,
2
X
,...,
X
n
,..
f
(
x
)
=
1
exp(
−
x
/
µ
)
dla
x
>
0
.
µ
Zmienna losowa jest niezależna od
X
λ. Niech będzie ustaloną liczbą dodatnią,
N
1
,
X
2
,...,
X
n
,...
i ma rozkład Poissona o wartości
oczekiwanej
c
Y
i
=
min(
X
,
c
)
,
Z
= ,
i
i
Y
i
S
(
Y
)
=
∑
=
N
Y
,
S
(
Z
)
=
∑
=
N
Z
.
i
i
i
1
1
Oblicz
Cov
( )
S
(
Y
)
,
S
(
Z
)
.
(A)
( )
Cov
S
(
Y
)
,
S
(
Z
)
=
c
µ
e
−
c
/
µ
(B)
( )
Cov
S
(
Y
)
,
S
(
Z
)
=
c
µ
(
−
e
−
c
/
µ
)
(C)
Cov
( )
(
Y
)
,
S
(
Z
)
=
c
λ
e
−
c
/
µ
(D)
Cov
( )
(
Y
)
,
S
(
Z
)
=
c
µ
e
−
c
λ
(E)
( )
Cov
S
(
Y
)
,
S
(
Z
)
=
µ
e
−
c
/
µ
5
i
i
S
S
[ Pobierz całość w formacie PDF ]