[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Prawdopodobieństwo i statystyka 12.10.2002 r
.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1
Rozważmy następującą, uproszczoną wersję gry w ,,wojnę’’. Talia składa się z 52 kart.
Dobrze potasowane karty rozdajemy dwóm graczom, każdemu po 26 i układamy w dwie
kupki. Gracze wykładają kolejno po jednej karcie z wierzchu swojej kupki i sprawdzają
wysokość obu kart. Jeśli obie wyłożone karty są równej wysokości (dwa asy lub dwa króle
itd.) to mówimy, że następuje wojna. Po sprawdzeniu, obie karty odkładamy na bok i nie
biorą już one udziału w dalszej grze. Powtarzamy tę procedurę 26 razy; gra kończy się, gdy
obaj gracze wyłożą wszystkie karty.
Oblicz wartość oczekiwaną liczby wojen.
(A)
26
(B)
52
(C)
4
(D)
52
4
⋅
51
⋅
50
⋅
49
4
⋅
13
⋅
12
⋅
11
⋅
10
(E)
13
+
12
+
11
+
...
+
2
+
1
52
51
50
41
40
1
17
17
Prawdopodobieństwo i statystyka 12.10.2002 r
.
___________________________________________________________________________
WW
będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
wykładniczym o gęstości
1
,
2
,
W
3
λ
e
−
λ
dla
w
≥
0
f
(
w
)
=
0
dla
w
<
0
Oblicz medianę zmiennej losowej
W
+
1
.
W
W
2
3
(A)
med
=
λ
λ
+
1
(B)
med
=
2
2
(C)
med
=
2 −
1
(D)
med
=
2
3
(E)
med
=
1
2
2
Zadanie 2
Niech
Prawdopodobieństwo i statystyka 12.10.2002 r
.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3
Załóżmy, że
K
oznacza liczbę sukcesów w
n
próbach Bernoulliego z nieznanym
prawdopodobieństwem sukcesu θ, czyli
Pr(
K
=
k
)
=
n
θ
k
(
−
θ
)
n
−
k
.
k
Rozważmy estymator parametru θ postaci
θ
ˆ
a
+
K
.
b
+
n
Niech
n
=
16
.
Przypuśćmy, że
dodatnie liczby
a
i
b
dobrane zostały tak, że funkcja ryzyka
estymatora,
R
θ
)
=
E
[(
θ
ˆ
−
θ
)
2
]
θ
jest funkcją stałą, czyli
(θ dla każdej wartości parametru θ.
R
Jeśli stwierdzisz, że
a
i
b
można tak dobrać, podaj liczbę
R
.
(A)
R
=
1
64
(B)
R
=
1
16
(C)
R
=
1
100
(D)
nie istnieją takie liczby
a
i
b
dla których ryzyko jest stałe
(E)
R
=
1
4
3
(
R
=
)
Prawdopodobieństwo i statystyka 12.10.2002 r
.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4
Wiemy, że zmienne losowe
X
1
,
X
2
,...,
X
m
,...,
X
n
są niezależne i mają jednakowy rozkład
prawdopodobieństwa. Zakładamy, że
1
<
m
<
n
i znamy
Var
)( σ
=
2
. Niech
i
S
m
=
X
1
+
X
2
+
...
+
X
m
i.
S
n
=
X
1
+
X
2
+
...
+
X
m
+
...
+
X
n
.
Oblicz
E
Var
(
S
m
S
n
)
.
(A)
E
Var
(
S
|
S
)
=
m
σ
2
m
n
n
(B)
E
Var
(
S
|
S
)
=
m
σ
2
m
n
n
+
1
(C)
podane informacje nie wystarczają do obliczenia
E
Var
(
S
m
|
S
n
)
(D)
E
Var
(
S
|
S
)
=
m
n
−
1
σ
2
m
n
n
(E)
E
Var
(
S
|
S
)
=
m
n
−
m
σ
2
m
n
n
4
X
|
Prawdopodobieństwo i statystyka 12.10.2002 r
.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5
Załóżmy, że
X
, ą zmiennymi losowymi o łącznym rozkładzie normalnym,
0
Y
E
(
X
)
=
Y
E
(
)
=
,
Var
(
X
)
=
Y
(
)
=
1
i
Cov
(
Y
X
)
=
ρ
.
Oblicz
Var
(
XY
)
.
(A)
Var
(
XY
)
=
1
+
ρ
2
(B)
Var
(
XY
)
=
1
+
2
ρ
2
(C)
Var
(
XY
)
=
1
−
ρ
2
(D)
Var
( =
XY
1
(E)
Var
(
XY
)
=
(
+
ρ
2
)
2
5
Var
[ Pobierz całość w formacie PDF ]